平衡二叉树(AVL)
著作权归https://www.pdai.tech所有。 链接：https://www.pdai.tech/md/algorithm/alg-basic-tree-balance.html
什么是AVL树
AVL树是高度平衡的而二叉树。它的特点是: AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1。
上面的两张图片，左边的是AVL树，它的任何节点的两个子树的高度差别都<=1；而右边的不是AVL树，因为7的两颗子树的高度相差为2(以2为根节点的树的高度是3，而以8为根节点的树的高度是1)。
AVL树的实现
节点
节点定义
AVLTree是AVL树对应的类，而AVLTreeNode是AVL树节点，它是AVLTree的内部类。AVLTree包含了AVL树的根节点，AVL树的基本操作也定义在AVL树中。AVLTreeNode包括的几个组成对象:
- key -- 是关键字，是用来对AVL树的节点进行排序的。
- left -- 是左孩子。
- right -- 是右孩子。
- height -- 是高度。
-
public class AVLTree> { private AVLTreeNode mRoot; // 根结点 // AVL树的节点(内部类) class AVLTreeNode > { T key; // 关键字(键值) int height; // 高度 AVLTreeNode left; // 左孩子 AVLTreeNode right; // 右孩子 public AVLTreeNode(T key, AVLTreeNode left, AVLTreeNode right) { this.key = key; this.left = left; this.right = right; this.height = 0; } } ...... } 树的高度
关于高度，有的地方将"空二叉树的高度是-1"，而本文采用维基百科上的定义: 树的高度为最大层次。即空的二叉树的高度是0，非空树的高度等于它的最大层次(根的层次为1，根的子节点为第2层，依次类推)。
/*
* 获取树的高度
*/
private int height(AVLTreeNode tree) {
if (tree != null)
return tree.height;
return 0;
}
public int height() {
return height(mRoot);
} 比较大小
/*
* 比较两个值的大小
*/
private int max(int a, int b) {
return a>b ? a : b;
}旋转
如果在AVL树中进行插入或删除节点后，可能导致AVL树失去平衡。这种失去平衡的可以概括为4种姿态: LL(左左)，LR(左右)，RR(右右)和RL(右左)。下面给出它们的示意图:
上图中的4棵树都是"失去平衡的AVL树"，从左往右的情况依次是: LL、LR、RL、RR。除了上面的情况之外，还有其它的失去平衡的AVL树，如下图:
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上面的两张图都是为了便于理解，而列举的关于"失去平衡的AVL树"的例子。总的来说，AVL树失去平衡时的情况一定是LL、LR、RL、RR这4种之一，它们都由各自的定义:
- LL: LeftLeft，也称为"左左"。插入或删除一个节点后，根节点的左子树的左子树还有非空子节点，导致"根的左子树的高度"比"根的右子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。 例如，在上面LL情况中，由于"根节点(8)的左子树(4)的左子树(2)还有非空子节点"，而"根节点(8)的右子树(12)没有子节点"；导致"根节点(8)的左子树(4)高度"比"根节点(8)的右子树(12)"高2。
- LR: LeftRight，也称为"左右"。插入或删除一个节点后，根节点的左子树的右子树还有非空子节点，导致"根的左子树的高度"比"根的右子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。 例如，在上面LR情况中，由于"根节点(8)的左子树(4)的左子树(6)还有非空子节点"，而"根节点(8)的右子树(12)没有子节点"；导致"根节点(8)的左子树(4)高度"比"根节点(8)的右子树(12)"高2。
- RL: RightLeft，称为"右左"。插入或删除一个节点后，根节点的右子树的左子树还有非空子节点，导致"根的右子树的高度"比"根的左子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。 例如，在上面RL情况中，由于"根节点(8)的右子树(12)的左子树(10)还有非空子节点"，而"根节点(8)的左子树(4)没有子节点"；导致"根节点(8)的右子树(12)高度"比"根节点(8)的左子树(4)"高2。
- RR: RightRight，称为"右右"。插入或删除一个节点后，根节点的右子树的右子树还有非空子节点，导致"根的右子树的高度"比"根的左子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。 例如，在上面RR情况中，由于"根节点(8)的右子树(12)的右子树(14)还有非空子节点"，而"根节点(8)的左子树(4)没有子节点"；导致"根节点(8)的右子树(12)高度"比"根节点(8)的左子树(4)"高2。
如果在AVL树中进行插入或删除节点后，可能导致AVL树失去平衡。AVL失去平衡之后，可以通过旋转使其恢复平衡，下面分别介绍"LL(左左)，LR(左右)，RR(右右)和RL(右左)"这4种情况对应的旋转方法。
LL的旋转
LL失去平衡的情况，可以通过一次旋转让AVL树恢复平衡。如下图:
图中左边是旋转之前的树，右边是旋转之后的树。从中可以发现，旋转之后的树又变成了AVL树，而且该旋转只需要一次即可完成。 对于LL旋转，你可以这样理解为: LL旋转是围绕"失去平衡的AVL根节点"进行的，也就是节点k2；而且由于是LL情况，即左左情况，就用手抓着"左孩子，即k1"使劲摇。将k1变成根节点，k2变成k1的右子树，"k1的右子树"变成"k2的左子树"。
/*
* LL: 左左对应的情况(左单旋转)。
*
* 返回值: 旋转后的根节点
*/
private AVLTreeNode leftLeftRotation(AVLTreeNode k2) {
AVLTreeNode k1;
k1 = k2.left;
k2.left = k1.right;
k1.right = k2;
k2.height = max( height(k2.left), height(k2.right)) + 1;
k1.height = max( height(k1.left), k2.height) + 1;
return k1;
} RR的旋转
理解了LL之后，RR就相当容易理解了。RR是与LL对称的情况！RR恢复平衡的旋转方法如下:
图中左边是旋转之前的树，右边是旋转之后的树。RR旋转也只需要一次即可完成。
/*
* RR: 右右对应的情况(右单旋转)。
*
* 返回值: 旋转后的根节点
*/
private AVLTreeNode rightRightRotation(AVLTreeNode k1) {
AVLTreeNode k2;
k2 = k1.right;
k1.right = k2.left;
k2.left = k1;
k1.height = max( height(k1.left), height(k1.right)) + 1;
k2.height = max( height(k2.right), k1.height) + 1;
return k2;
} LR的旋转
LR失去平衡的情况，需要经过两次旋转才能让AVL树恢复平衡。如下图:
第一次旋转是围绕"k1"进行的"RR旋转"，第二次是围绕"k3"进行的"LL旋转"。
/*
* LR: 左右对应的情况(左双旋转)。
*
* 返回值: 旋转后的根节点
*/
private AVLTreeNode leftRightRotation(AVLTreeNode k3) {
k3.left = rightRightRotation(k3.left);
return leftLeftRotation(k3);
} RL的旋转
RL是与LR的对称情况！RL恢复平衡的旋转方法如下:
第一次旋转是围绕"k3"进行的"LL旋转"，第二次是围绕"k1"进行的"RR旋转"。
/*
* RL: 右左对应的情况(右双旋转)。
*
* 返回值: 旋转后的根节点
*/
private AVLTreeNode rightLeftRotation(AVLTreeNode k1) {
k1.right = leftLeftRotation(k1.right);
return rightRightRotation(k1);
} 插入
插入节点的代码
/*
* 将结点插入到AVL树中，并返回根节点
*
* 参数说明:
* tree AVL树的根结点
* key 插入的结点的键值
* 返回值:
* 根节点
*/
private AVLTreeNode insert(AVLTreeNode tree, T key) {
if (tree == null) {
// 新建节点
tree = new AVLTreeNode(key, null, null);
if (tree==null) {
System.out.println("ERROR: create avltree node failed!");
return null;
}
} else {
int cmp = key.compareTo(tree.key);
if (cmp < 0) { // 应该将key插入到"tree的左子树"的情况
tree.left = insert(tree.left, key);
// 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
if (height(tree.left) - height(tree.right) == 2) {
if (key.compareTo(tree.left.key) < 0)
tree = leftLeftRotation(tree);
else
tree = leftRightRotation(tree);
}
} else if (cmp > 0) { // 应该将key插入到"tree的右子树"的情况
tree.right = insert(tree.right, key);
// 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
if (height(tree.right) - height(tree.left) == 2) {
if (key.compareTo(tree.right.key) > 0)
tree = rightRightRotation(tree);
else
tree = rightLeftRotation(tree);
}
} else { // cmp==0
System.out.println("添加失败: 不允许添加相同的节点！");
}
}
tree.height = max( height(tree.left), height(tree.right)) + 1;
return tree;
}
public void insert(T key) {
mRoot = insert(mRoot, key);
} 删除
删除节点的代码
/*
* 删除结点(z)，返回根节点
*
* 参数说明:
* tree AVL树的根结点
* z 待删除的结点
* 返回值:
* 根节点
*/
private AVLTreeNode remove(AVLTreeNode tree, AVLTreeNode z) {
// 根为空 或者 没有要删除的节点，直接返回null。
if (tree==null || z==null)
return null;
int cmp = z.key.compareTo(tree.key);
if (cmp < 0) { // 待删除的节点在"tree的左子树"中
tree.left = remove(tree.left, z);
// 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
if (height(tree.right) - height(tree.left) == 2) {
AVLTreeNode r = tree.right;
if (height(r.left) > height(r.right))
tree = rightLeftRotation(tree);
else
tree = rightRightRotation(tree);
}
} else if (cmp > 0) { // 待删除的节点在"tree的右子树"中
tree.right = remove(tree.right, z);
// 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
if (height(tree.left) - height(tree.right) == 2) {
AVLTreeNode l = tree.left;
if (height(l.right) > height(l.left))
tree = leftRightRotation(tree);
else
tree = leftLeftRotation(tree);
}
} else { // tree是对应要删除的节点。
// tree的左右孩子都非空
if ((tree.left!=null) && (tree.right!=null)) {
if (height(tree.left) > height(tree.right)) {
// 如果tree的左子树比右子树高；
// 则(01)找出tree的左子树中的最大节点
// (02)将该最大节点的值赋值给tree。
// (03)删除该最大节点。
// 这类似于用"tree的左子树中最大节点"做"tree"的替身；
// 采用这种方式的好处是: 删除"tree的左子树中最大节点"之后，AVL树仍然是平衡的。
AVLTreeNode max = maximum(tree.left);
tree.key = max.key;
tree.left = remove(tree.left, max);
} else {
// 如果tree的左子树不比右子树高(即它们相等，或右子树比左子树高1)
// 则(01)找出tree的右子树中的最小节点
// (02)将该最小节点的值赋值给tree。
// (03)删除该最小节点。
// 这类似于用"tree的右子树中最小节点"做"tree"的替身；
// 采用这种方式的好处是: 删除"tree的右子树中最小节点"之后，AVL树仍然是平衡的。
AVLTreeNode min = maximum(tree.right);
tree.key = min.key;
tree.right = remove(tree.right, min);
}
} else {
AVLTreeNode tmp = tree;
tree = (tree.left!=null) ? tree.left : tree.right;
tmp = null;
}
}
return tree;
}
public void remove(T key) {
AVLTreeNode z;
if ((z = search(mRoot, key)) != null)
mRoot = remove(mRoot, z);
} AVL树测试
-
新建AVL树
-
依次添加"3,2,1,4,5,6,7,16,15,14,13,12,11,10,8,9" 到AVL树中。
2.01 添加3,2 添加3,2都不会破坏AVL树的平衡性。
2.02 添加1 添加1之后，AVL树失去平衡(LL)，此时需要对AVL树进行旋转(LL旋转)。旋转过程如下:
2.03 添加4 添加4不会破坏AVL树的平衡性。
2.04 添加5 添加5之后，AVL树失去平衡(RR)，此时需要对AVL树进行旋转(RR旋转)。旋转过程如下:
2.05 添加6 添加6之后，AVL树失去平衡(RR)，此时需要对AVL树进行旋转(RR旋转)。旋转过程如下:
2.06 添加7 添加7之后，AVL树失去平衡(RR)，此时需要对AVL树进行旋转(RR旋转)。旋转过程如下:
2.07 添加16 添加16不会破坏AVL树的平衡性。
2.08 添加15 添加15之后，AVL树失去平衡(RR)，此时需要对AVL树进行旋转(RR旋转)。旋转过程如下:
2.09 添加14 添加14之后，AVL树失去平衡(RL)，此时需要对AVL树进行旋转(RL旋转)。旋转过程如下:
2.10 添加13 添加13之后，AVL树失去平衡(RR)，此时需要对AVL树进行旋转(RR旋转)。旋转过程如下
2.11 添加12 添加12之后，AVL树失去平衡(LL)，此时需要对AVL树进行旋转(LL旋转)。旋转过程如下:
2.12 添加11 添加11之后，AVL树失去平衡(LL)，此时需要对AVL树进行旋转(LL旋转)。旋转过程如下:
2.13 添加10 添加10之后，AVL树失去平衡(LL)，此时需要对AVL树进行旋转(LL旋转)。旋转过程如下:
2.14 添加8 添加8不会破坏AVL树的平衡性。
2.15 添加9 但是添加9之后，AVL树失去平衡(LR)，此时需要对AVL树进行旋转(LR旋转)。旋转过程如下:
打印树的信息
输出下面树的信息:
前序遍历: 7 4 2 1 3 6 5 13 11 9 8 10 12 15 14 16
中序遍历: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
后序遍历: 1 3 2 5 6 4 8 10 9 12 11 14 16 15 13 7
高度: 5
最小值: 1
最大值: 16删除节点8
删除操作并不会造成AVL树的不平衡。
删除节点8之后，再打印该AVL树的信息。
高度: 5
中序遍历: 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 16完整实现和测试的代码
AVL 完整实现代码
/**
* Java 语言: AVL树
*
* @author skywang
* @date 2013/11/07
*/
public class AVLTree> {
private AVLTreeNode mRoot; // 根结点
// AVL树的节点(内部类)
class AVLTreeNode> {
T key; // 关键字(键值)
int height; // 高度
AVLTreeNode left; // 左孩子
AVLTreeNode right; // 右孩子
public AVLTreeNode(T key, AVLTreeNode left, AVLTreeNode right) {
this.key = key;
this.left = left;
this.right = right;
this.height = 0;
}
}
// 构造函数
public AVLTree() {
mRoot = null;
}
/*
* 获取树的高度
*/
private int height(AVLTreeNode tree) {
if (tree != null)
return tree.height;
return 0;
}
public int height() {
return height(mRoot);
}
/*
* 比较两个值的大小
*/
private int max(int a, int b) {
return a>b ? a : b;
}
/*
* 前序遍历"AVL树"
*/
private void preOrder(AVLTreeNode tree) {
if(tree != null) {
System.out.print(tree.key+" ");
preOrder(tree.left);
preOrder(tree.right);
}
}
public void preOrder() {
preOrder(mRoot);
}
/*
* 中序遍历"AVL树"
*/
private void inOrder(AVLTreeNode tree) {
if(tree != null)
{
inOrder(tree.left);
System.out.print(tree.key+" ");
inOrder(tree.right);
}
}
public void inOrder() {
inOrder(mRoot);
}
/*
* 后序遍历"AVL树"
*/
private void postOrder(AVLTreeNode tree) {
if(tree != null) {
postOrder(tree.left);
postOrder(tree.right);
System.out.print(tree.key+" ");
}
}
public void postOrder() {
postOrder(mRoot);
}
/*
* (递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点
*/
private AVLTreeNode search(AVLTreeNode x, T key) {
if (x==null)
return x;
int cmp = key.compareTo(x.key);
if (cmp < 0)
return search(x.left, key);
else if (cmp > 0)
return search(x.right, key);
else
return x;
}
public AVLTreeNode search(T key) {
return search(mRoot, key);
}
/*
* (非递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点
*/
private AVLTreeNode iterativeSearch(AVLTreeNode x, T key) {
while (x!=null) {
int cmp = key.compareTo(x.key);
if (cmp < 0)
x = x.left;
else if (cmp > 0)
x = x.right;
else
return x;
}
return x;
}
public AVLTreeNode iterativeSearch(T key) {
return iterativeSearch(mRoot, key);
}
/*
* 查找最小结点: 返回tree为根结点的AVL树的最小结点。
*/
private AVLTreeNode minimum(AVLTreeNode tree) {
if (tree == null)
return null;
while(tree.left != null)
tree = tree.left;
return tree;
}
public T minimum() {
AVLTreeNode p = minimum(mRoot);
if (p != null)
return p.key;
return null;
}
/*
* 查找最大结点: 返回tree为根结点的AVL树的最大结点。
*/
private AVLTreeNode maximum(AVLTreeNode tree) {
if (tree == null)
return null;
while(tree.right != null)
tree = tree.right;
return tree;
}
public T maximum() {
AVLTreeNode p = maximum(mRoot);
if (p != null)
return p.key;
return null;
}
/*
* LL: 左左对应的情况(左单旋转)。
*
* 返回值: 旋转后的根节点
*/
private AVLTreeNode leftLeftRotation(AVLTreeNode k2) {
AVLTreeNode k1;
k1 = k2.left;
k2.left = k1.right;
k1.right = k2;
k2.height = max( height(k2.left), height(k2.right)) + 1;
k1.height = max( height(k1.left), k2.height) + 1;
return k1;
}
/*
* RR: 右右对应的情况(右单旋转)。
*
* 返回值: 旋转后的根节点
*/
private AVLTreeNode rightRightRotation(AVLTreeNode k1) {
AVLTreeNode k2;
k2 = k1.right;
k1.right = k2.left;
k2.left = k1;
k1.height = max( height(k1.left), height(k1.right)) + 1;
k2.height = max( height(k2.right), k1.height) + 1;
return k2;
}
/*
* LR: 左右对应的情况(左双旋转)。
*
* 返回值: 旋转后的根节点
*/
private AVLTreeNode leftRightRotation(AVLTreeNode k3) {
k3.left = rightRightRotation(k3.left);
return leftLeftRotation(k3);
}
/*
* RL: 右左对应的情况(右双旋转)。
*
* 返回值: 旋转后的根节点
*/
private AVLTreeNode rightLeftRotation(AVLTreeNode k1) {
k1.right = leftLeftRotation(k1.right);
return rightRightRotation(k1);
}
/*
* 将结点插入到AVL树中，并返回根节点
*
* 参数说明:
* tree AVL树的根结点
* key 插入的结点的键值
* 返回值:
* 根节点
*/
private AVLTreeNode insert(AVLTreeNode tree, T key) {
if (tree == null) {
// 新建节点
tree = new AVLTreeNode(key, null, null);
if (tree==null) {
System.out.println("ERROR: create avltree node failed!");
return null;
}
} else {
int cmp = key.compareTo(tree.key);
if (cmp < 0) { // 应该将key插入到"tree的左子树"的情况
tree.left = insert(tree.left, key);
// 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
if (height(tree.left) - height(tree.right) == 2) {
if (key.compareTo(tree.left.key) < 0)
tree = leftLeftRotation(tree);
else
tree = leftRightRotation(tree);
}
} else if (cmp > 0) { // 应该将key插入到"tree的右子树"的情况
tree.right = insert(tree.right, key);
// 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
if (height(tree.right) - height(tree.left) == 2) {
if (key.compareTo(tree.right.key) > 0)
tree = rightRightRotation(tree);
else
tree = rightLeftRotation(tree);
}
} else { // cmp==0
System.out.println("添加失败: 不允许添加相同的节点！");
}
}
tree.height = max( height(tree.left), height(tree.right)) + 1;
return tree;
}
public void insert(T key) {
mRoot = insert(mRoot, key);
}
/*
* 删除结点(z)，返回根节点
*
* 参数说明:
* tree AVL树的根结点
* z 待删除的结点
* 返回值:
* 根节点
*/
private AVLTreeNode remove(AVLTreeNode tree, AVLTreeNode z) {
// 根为空 或者 没有要删除的节点，直接返回null。
if (tree==null || z==null)
return null;
int cmp = z.key.compareTo(tree.key);
if (cmp < 0) { // 待删除的节点在"tree的左子树"中
tree.left = remove(tree.left, z);
// 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
if (height(tree.right) - height(tree.left) == 2) {
AVLTreeNode r = tree.right;
if (height(r.left) > height(r.right))
tree = rightLeftRotation(tree);
else
tree = rightRightRotation(tree);
}
} else if (cmp > 0) { // 待删除的节点在"tree的右子树"中
tree.right = remove(tree.right, z);
// 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
if (height(tree.left) - height(tree.right) == 2) {
AVLTreeNode l = tree.left;
if (height(l.right) > height(l.left))
tree = leftRightRotation(tree);
else
tree = leftLeftRotation(tree);
}
} else { // tree是对应要删除的节点。
// tree的左右孩子都非空
if ((tree.left!=null) && (tree.right!=null)) {
if (height(tree.left) > height(tree.right)) {
// 如果tree的左子树比右子树高；
// 则(01)找出tree的左子树中的最大节点
// (02)将该最大节点的值赋值给tree。
// (03)删除该最大节点。
// 这类似于用"tree的左子树中最大节点"做"tree"的替身；
// 采用这种方式的好处是: 删除"tree的左子树中最大节点"之后，AVL树仍然是平衡的。
AVLTreeNode max = maximum(tree.left);
tree.key = max.key;
tree.left = remove(tree.left, max);
} else {
// 如果tree的左子树不比右子树高(即它们相等，或右子树比左子树高1)
// 则(01)找出tree的右子树中的最小节点
// (02)将该最小节点的值赋值给tree。
// (03)删除该最小节点。
// 这类似于用"tree的右子树中最小节点"做"tree"的替身；
// 采用这种方式的好处是: 删除"tree的右子树中最小节点"之后，AVL树仍然是平衡的。
AVLTreeNode min = minimum(tree.right);
tree.key = min.key;
tree.right = remove(tree.right, min);
}
} else {
AVLTreeNode tmp = tree;
tree = (tree.left!=null) ? tree.left : tree.right;
tmp = null;
}
}
tree.height = max(height(tree.left), height(tree.right)) + 1;
return tree;
}
public void remove(T key) {
AVLTreeNode z;
if ((z = search(mRoot, key)) != null)
mRoot = remove(mRoot, z);
}
/*
* 销毁AVL树
*/
private void destroy(AVLTreeNode tree) {
if (tree==null)
return ;
if (tree.left != null)
destroy(tree.left);
if (tree.right != null)
destroy(tree.right);
tree = null;
}
public void destroy() {
destroy(mRoot);
}
/*
* 打印"二叉查找树"
*
* key -- 节点的键值
* direction -- 0，表示该节点是根节点;
* -1，表示该节点是它的父结点的左孩子;
* 1，表示该节点是它的父结点的右孩子。
*/
private void print(AVLTreeNode tree, T key, int direction) {
if(tree != null) {
if(direction==0) // tree是根节点
System.out.printf("%2d is root\n", tree.key, key);
else // tree是分支节点
System.out.printf("%2d is %2d's %6s child\n", tree.key, key, direction==1?"right" : "left");
print(tree.left, tree.key, -1);
print(tree.right,tree.key, 1);
}
}
public void print() {
if (mRoot != null)
print(mRoot, mRoot.key, 0);
}
} AVL 完整测试代码
/**
* Java 语言: AVL树
*
* @author skywang
* @date 2013/11/07
*/
public class AVLTreeTest {
private static int arr[]= {3,2,1,4,5,6,7,16,15,14,13,12,11,10,8,9};
public static void main(String[] args) {
int i;
AVLTree tree = new AVLTree();
System.out.printf("== 依次添加: ");
for(i=0; i 测试结果
== 依次添加: 3 2 1 4 5 6 7 16 15 14 13 12 11 10 8 9
== 前序遍历: 7 4 2 1 3 6 5 13 11 9 8 10 12 15 14 16
== 中序遍历: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
== 后序遍历: 1 3 2 5 6 4 8 10 9 12 11 14 16 15 13 7
== 高度: 5
== 最小值: 1
== 最大值: 16
== 树的详细信息:
7 is root
4 is 7's left child
2 is 4's left child
1 is 2's left child
3 is 2's right child
6 is 4's right child
5 is 6's left child
13 is 7's right child
11 is 13's left child
9 is 11's left child
8 is 9's left child
10 is 9's right child
12 is 11's right child
15 is 13's right child
14 is 15's left child
16 is 15's right child
== 删除根节点: 8
== 高度: 5
== 中序遍历: 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 16
== 树的详细信息:
7 is root
4 is 7's left child
2 is 4's left child
1 is 2's left child
3 is 2's right child
6 is 4's right child
5 is 6's left child
13 is 7's right child
11 is 13's left child
9 is 11's left child
10 is 9's right child
12 is 11's right child
15 is 13's right child
14 is 15's left child
16 is 15's right child参考：https://blog.csdn.net/m0_37609579/article/details/99690222