傅里叶入门--只要肯努力，弯的都能掰直
记得以前有门课程，有这么一个说法：任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。
咳咳。。。
举个栗子，某函数有如下图示形状：
可以由多个形状如下的波形叠加合成。
咋一看，一想，不合理呀，一种弯曲丰满的的曲线怎么会合成横平竖直的直线呢？多个曲线相加莫非就是变高、变宽、变陡或变缓，也不至于平了吧。小学老师告诉我一只羊加一只羊等于两只羊，我信了，但是现在告诉我两只美羊羊加3只懒羊羊等于熊大，我不信！
这是我开始的想法，估计大家也是有和我一样的想法。
当今美颜相机、声音控制、变音、图像识别等对大家都不陌生了，这些图片处理、声音处理等技术，或多或少用到了一种叫做傅里叶变换的东东。想想这是以前课堂里东西呀，情不自禁回忆以前的学校生涯，课堂经常玩手机，懒，学的差，混得low。黑板前那不厌其烦的讲课，说的虽然是汉语但听得比巴基斯坦语还艰难的老师，现在深刻体会到他写的每一行字，说的每一句话都是对的。
出来混，早晚都要还的。想把以前忽略过的东西温习一遍，就当是一次回忆了，顺便练练手，说不定哪天又用到了。
额嗬。。。咳咳。。。以上是无关紧要的叙事。
回到刚开始的问题，在书本上有这么一个公式：
<本文涉及的公式截图来自书籍《实用数字信号处理：从原理到应用》作者：StevenW.Smith>
（大家不要太纠结公式的符号是什么意思，我摆在这只是为了直观的说明问题，不影响本文的讨论内容）
什么意思尼？
用开局第一个图的矩形波为例，这个时域波形有 N=200个信号点。
结合上面公式得出通俗的表达：
200个点组成的矩形波=101个点组成的cos曲线的叠加+101个点组成的sin曲线叠加。
接下我们就开始以轻松愉快的方式来验证这个问题。
怎么个轻松法，比如当成这是一个是真的吗的题目，节目开始：
我们开始来讨论这个是真的吗的问题。
要求得这些曲线还需要一个公式：
这个公式简单理解就是求得每个曲线的振幅。
不同的曲线有不同的振幅，这些曲线就像是声音，不同振幅和不同的频率的声音构成动听的乐章，只是本文的乐章是一个矩形。
做饭的锅，灶已经准备好， 开始炒菜了。
先来把 cos 曲线下锅。（cos 部分在书本里被称为实部）
<下面合成动态图中：绿色代表cos曲线， 蓝色代表上次合成后的线， 红色代表本次叠加结果的线>
开始先用慢火，看先前10 条线合成的过程：
(⊙o⊙)… 是慢慢有点有矩形的样子，但是还是不够像，这菜还不够熟，接下来就火力全开，让子弹飞一会儿。
准备！
action!
101 个曲线能合成：
是不是有点惊讶！肉眼很难看出和矩形的差别了。现在仅是101 条线，你想想如果是无穷个相加那不就是90度的直角了吗。
只要肯努力，弯的都能掰直。真的不是我乱说的，而是有依据的。
细心的人可能会发现有很多y=0的直线，这不是我滥竽充数随便加的，而是公式求出来的振幅就是0。 还有开篇第一图中间部分信号值是200, 怎么曲线叠加之后是50了，这我也真不知道了，我按照书本做就是这样的结果，如果你知道那就告诉我呗。
书本上告诉我们这些曲线构成了该信号的频域。 什么？你问我画出来是什么样子。
还是先来看刚才前10条曲线的频谱图：
这个图和大家学过的书本上的图很类似，感觉像是体育课上从高到低排列队伍的样子。
还是看不懂？
我开始也是看不懂这个图和前面10条曲线有什么关系， 后来知道变通了，原来这个图是旋转而来的。
怎么转，如下：
旋转结束后，每条曲线的振幅值对应上面的小圆点的值。
全部的101个曲线组成的频谱图如下：
这个看着像啥尼，好像啥也不像￣□￣｜｜
上面的cos 部分的曲线叠加就说完了。
认真的同学提到了还有sin 部分（在书本上也叫虚部）的曲线没有说。
sin 部分不再细讲，只展示结果，其叠加结果如下图：
我也看不出这个有什么作用，好像可有可无，无非和前面实部叠加成的矩形波加起来稍微一点更像矩形。
它的频谱图尼是这样子的：
<以上波形图片、动画涉及到的计算方法都是我一行一句用代码写的，如果想看相关的函数计算可以参考参考。有点low,有兴趣的可以去吐槽一下>
代码连接： https://download.csdn.net/download/shaynelee8/10866726 （配合《实用数字信号处理：从原理到应用》作者：StevenW.Smith，第8章：离散傅里叶变换》来看）
最后。
宣布本期节目的问题： 多个正弦波可以叠加成矩形波。 是真的吗？
答案： 是真的！！！