随机微分方程学习笔记01 相对布朗运动的Ito积分

这个系列是在随机过程学习笔记之后的，本来想直接看随机微分方程的，但发现很多概念不了解，就先去看了随机过程的资料。

前情提要： $\Omega =\{所有\omega \}$， $\omega (t)\in \mathbb{P}$， $t\in I$，随机过程比如 $X:(t,\omega )\mapsto X(t,\omega )\in \mathbb{R}$，随机变量 $\mathbb{P}\to \mathbb{R}$。

一维Ito积分

在$L^2$上构造

设$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$是一个完备概率空间$(\Omega ,\mathcal{F},P)$上的滤子(filtration)，即一个满足

1. ${\mathcal{F}}_s\subset {\mathcal{F}}_t\subset \mathcal{F},(s\le t$)；
2. ${\mathcal{F}}_s={\cap }_{t>s}{\mathcal{F}}_t,(s\ge 0)$【右正则性】；
3. $\forall A\in \mathcal{F}$满足$P(A)=0$，有$A\in {\mathcal{F}}_0$；

的网。

$(X_t,t\ge 0)$是一族$(\Omega ,\mathcal{F},P)$上的${\mathbb{R}}^d$随机变量。
若满足所有$X(t)$是${\mathcal{F}}_s$可测的，则称$(X(t),t\ge 0)$是$(F_s)$-适合的($({\mathcal{F}}_t)$-adapted)。
若满足$(t,\omega )\mapsto X(t,\omega )$是$\mathcal{B}⨂\mathcal{F}$可测的，则称过程$X$是可测的(measurable)。
若满足$\forall \omega$，轨迹$t\mapsto X(t,\omega )$是连续的（$\mathcal{B}$是$\mathbb{R}$上的Borel），则称$(X(t),t\ge 0)$是连续的(continuous)。

已经有结论，若一个过程是（右）连续的，则它是可测的。

设$(W(t),t\ge 0)$是一个连续的$({\mathcal{F}}_t)$-合适的实值过程，若满足

1. $W(0)=0$。
2. 对任意$s$，$0\le s\le t$：$W(t)-W(s)$与${\mathcal{F}}_s$独立。
3. 对任意$s$，$0\le s\le t$：$W(t)-W(s)\sim \mathcal{N}(0,t-s)$。

则称$W$是一维标准布朗运动(standard one-dementional Brownian motion)。

$$V:=\{Y:Y为实值随机过程，{\mathcal{F}}_t-适合，可测，且满足\Vert Y{\Vert }_V:={\left({\int }_0^{\infty }\mathbb{E}\left[Y(t{)}^2\right]\mathrm{d}t\}\right)}^{\frac{1}{2}}<\infty \}$$若$Y\in V$且$$Y(t,\omega )=\sum _{i=0}^{\infty }{\eta }_i(\omega )1_{[t_i,t_{i+1})}(t),$$其中$(t_i{)}_{t\ge 0}$是单增序列，${\eta }_i$是${\mathcal{F}}_{t_i}$-可测的随机变量，则称$Y$是简单的(simple)。

简单过程的Ito积分

对于简单过程$Y\in V$可以自然地定义$${\int }_0^{\infty }Y(t)\mathrm{d}W(t):=\sum _{i=0}^{\infty }{\eta }_i(W(t_{t+1})-W(t_i)).$$等式右边这个级数在$L^2(\mathbb{P})$上收敛，这说明等式左边在$\mathbb{P}$这个测度下是几乎处处良定义的。

1. 证明等式右边收敛：
   证：令$S_k:={\sum }_{i=0}^k{\eta }_i(W(t_{t+1})-W(t_i))$，$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}\left[(S_l-S_k{)}^2\right]=& \mathbb{E}\left[{\left(\sum _{i=k+1}^l{\eta }_i(W(t_{t+1})-W(t_i))\right)}^2\right]\\ =& \sum _{i=k+1}^l\mathbb{E}\left[{\eta }_i^2(W(t_{i+1})-W(t_i){)}^2\right]\\ & +2\sum _{k+1\le i<j\le l}\mathbb{E}\left[{\eta }_i{\eta }_j(W(t_{i+1})-W(t_i))(W(t_{j+1})-W(t_j))\right]\\ =& \sum _{i=k+1}^l\mathbb{E}\left[{\eta }_i^2\right](t_{i+1}-t_i)\\ =& {\int }_{t_{k+1}}^{t_{l+1}}\mathbb{E}\left[Y(t{)}^2\right]\mathrm{d}t\to 0(k,l\to \infty )\end{array}$$所以$(S_k)$是$L^2(\mathbb{P})$上的柯西列，所以等式右边收敛。$\square .$

2. 证明等距$$\mathbb{E}\left[{\left({\int }_0^{\infty }Y(t)\mathrm{d}W(t)\right)}^2\right]=\Vert Y{\Vert }_V^2.$$
   【理解这个等距：

Ito积分

v中简单过程

随机变量

$V$中的范数是$\Vert \cdot {\Vert }_V$，随机变量看作是$L^2(\mathbb{P})$中的函数，则其的范数是${\left(\mathbb{E}\left[{\cdot }^2\right]\right)}^{\frac{1}{2}}$。在简单过程这个自变量的区域中Ito积分是个等距映射。】
证：已经证明了$(S_k)$是柯西列，所以$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}\left[{\left({\int }_0^{\infty }Y(t)\mathrm{d}W(t)\right)}^2\right]& =\underset{k\to \infty }{\lim }\mathbb{E}\left[S_k^2\right]\\ & =\underset{k\to \infty }{\lim }{\int }_0^{k+1}\mathbb{E}[Y(t{)}^2]\mathrm{d}t\\ & =\Vert Y{\Vert }_V^2.\end{array}$$ $\square .$

$V$中一般过程的Ito积分

推论：$\forall Y\in V$，存在一列简单过程$(Y_n{)}_{n\ge 1}$，$Y_n\in V$使得${\lim }_{n\to \infty }\Vert Y-Y_n{\Vert }_V=0$。
证：【这个证明和很多实变函数的问题的证明相似，久了不练都不熟悉这种套路了。简单 --> 连续+有限 --> 有限 --> 一般】

第一步：用简单过程逼近连续的时域有限事件域有界的过程【这个名字自己取的，可以想象一个过程的定义域有“两个维度”：时间和事件，现在在这两个维度上都做一定的限制，并加上了过程连续的要求】。
设$Y$是连续的，当$t\le T$时，$|Y(t)|<K$，当$t\ge T$时，$Y(t)=0$；设$t_i^n=\frac{i}{n}$，定义$$Y_n(t):=\sum _{i=0}^{T_n-1}Y(t_i^n)1_{[t_i^n,t_{i+1}^n)}(t).$$则由于$Y$连续，$Y_n$点态收敛到$Y$，又因为$Y_n(t)\le K{1}_{[0,T]}(t)$，所以由控制收敛定理可以得到$\Vert Y-Y_n{\Vert }_V\to 0(n\to \infty )$。

第二步：用连续的时域有限事件域有界的过程逼近一般的时域有限事件域有界的过程。
设当$t\le T$时，$|Y(t)|<K$，当$t\ge T$时，$Y(t)=0$。设$h:[0,\infty )\to [0,\infty )$是个连续函数且当$t\ge 1$时，$h(t)=0$，$\int h=1$。令$$\begin{array}{rl}{Y}_n(t)& :={\int }_0^{t}Y(s)nh(n(t-s))\mathrm{d}s\\ & ={\int }_{nt}^{0}Y(t-\frac{z}{n})nh(z)\mathrm{d}(-\frac{z}{n})\\ & ={\int }_0^{\min \{1,nt\}}Y(t-\frac{z}{n})h(z)\mathrm{d}z\end{array}$$由于$|Y(t-\frac{z}{n})h(z)|\le Kh(z)$所以$$\underset{n\to \infty }{\lim }{Y}_n(t)={\int }_0^1\underset{n\to \infty }{\lim }Y(t-\frac{z}{n})h(z)\mathrm{d}z=Y(t)$$所以$Y_n$点态收敛到$Y$，而且$Y_n$是连续的。同样用控制收敛准则，得到$\Vert Y_n-Y{\Vert }_V^2\to 0(n\to \infty )$。

第三步：用一般的时域有限事件域有界的过程逼近$V$中一般过程。这个显然了因为$Y\in V$，那么$$Y_n(t)=\{\begin{array}{ll}Y(t)& t\le n,|Y(t)|\le n;\\ \frac{Y(t)}{|Y(t)|}n& t\le n,|Y(t)|>n;\\ 0& t>n.\end{array}$$能满足$\Vert Y_n-Y{\Vert }_V^2\to 0(n\to \infty )$ $\square .$

根据前面的推论我们可以知道$\forall Y\in V$能找到一列简单过程$(Y_n)$满足$\Vert Y_n-Y{\Vert }_V\to 0$，故定义Ito积分$${\int }_0^{\infty }Y(t)\mathrm{d}W(t):=\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^{\infty }{Y}_n(t)\mathrm{d}W(t)$$这里的极限是在$L^2(\mathbb{P})$意义下的。对于$0\le A\le B$，$${\int }_A^{B}Y(t)\mathrm{d}W(t)={\int }_0^{\infty }Y(t)1_{[A,B]}(t)\mathrm{d}W(t).$$

平方协方差

$f,g:{\mathbb{R}}^{+}\to \mathbb{R}$，$\Pi$是一个划分$(t_i)$，$t_0=0$，$t_i\uparrow \infty$，$|\Pi |={\max }_i(t_{i+1}-t_i)$，若 $\forall t\ge 0$，极限$$\underset{|\Pi |\to 0}{\lim }\sum _{t_i\in \Pi }\left(f(t_{i+1}\wedge t)-f(t_i\wedge t)\right)\left(g(t_{i+1}\wedge t)-g(t_i\wedge t)\right)$$都存在，称此极限为$f,g$的平方协方差，记为${⟨f,g⟩}_t$。${⟨f⟩}_t={⟨f,f⟩}_t$，为$f$的平方方差。

设$W$为一维标准布朗运动，计算${⟨W⟩}_t$。
$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}\left[{\left(\sum _{t_i\in \Pi }(W(t_{i+1}\wedge t)-W(t_i\wedge t){)}^2-t\right)}^2\right]& =\mathbb{E}\left[{\left(\sum _{t_i\in \Pi }(W(t_{i+1}\wedge t)-W(t_i\wedge t){)}^2-((t_{i+1}\wedge t)-(t_i\wedge t))\right)}^2\right]\\ & =\sum _{t_i\in \Pi }\mathbb{E}\left[{\left((W(t_{i+1}\wedge t)-W(t_i\wedge t){)}^2-((t_{i+1}\wedge t)-(t_i\wedge t))\right)}^2\right]\\ & =\sum _{t_i\in \Pi }2((t_{i+1}\wedge t)-(t_i\wedge t){)}^2【这里有用到正态分布四阶矩的结论】\\ & \le 2|\Pi |t\\ & \to 0(|\Pi |\to 0).\end{array}$$所以在$L^2(\mathbb{P})$的意义下${⟨W⟩}_t=t$。

下面考虑一个${\int }_0^{T}W(t)\mathrm{d}W(t)$。设$X^{(}n)={\sum }_{k=0}^{n-1}W(\frac{kT}{n})1_{[\frac{kT}{n},\frac{(k+1)T}{n})}$ $$\begin{array}{rl}{\int }_0^T{X}^n(t)\mathrm{d}W(t)& =\sum _{k=0}^{n-1}W(\frac{kT}{n})(W(\frac{(k+1)T}{n})-W(\frac{kT}{n}))\\ & =\frac{1}{2}\sum _{k=0}^{n-1}W(\frac{kT}{n})(W(\frac{(k+1)T}{n})-W(\frac{kT}{n}))+\frac{1}{2}\sum _{k=0}^{n-1}W(\frac{kT}{n})(W(\frac{(k+1)T}{n})-W(\frac{kT}{n}))\\ & =\frac{1}{2}\sum _{k=0}^{n-1}(W(\frac{kT}{n})+W(\frac{(k+1)T}{n}))(W(\frac{(k+1)T}{n})-W(\frac{kT}{n}))-\frac{1}{2}\sum _{k=0}^{n-1}(W(\frac{(k+1)T}{n})-W(\frac{kT}{n}){)}^2\\ & =\frac{1}{2}W(T{)}^2-\frac{1}{2}\sum _{k=0}^{n-1}(W(\frac{(k+1)T}{n})-W(\frac{kT}{n}){)}^2\end{array}$$ 所以$${\int }_0^{T}W(t)\mathrm{d}W(t)=\frac{1}{2}W(T{)}^2-\frac{1}{2}T.$$

Ito积分的性质

1. Ito等距(Ito isometry)：$\mathbb{E}\left[{\left({\int }_0^{\infty }X(t)\mathrm{d}W(t)\right)}^2\right]=\Vert X{\Vert }_V^2$；
2. $\mathbb{E}\left[{\int }_0^{\infty }X(t)\mathrm{d}W(t){\int }_0^{\infty }Y(t)\mathrm{d}W(t)\right]={\int }_0^{\infty }\mathbb{E}[X(t)Y(t)]\mathrm{d}t$；
3. $\forall 0\le A\le B\le C$，${\int }_A^{C}X(t)\mathrm{d}W(t)={\int }_A^{B}X(t)\mathrm{d}W(t)+{\int }_B^{C}X(t)\mathrm{d}W(t)$几乎处处成立；
4. $\forall c\in \mathbb{R}$，${\int }_0^{\infty }\left(cX(t)+Y(t)\right)\mathrm{d}W(t)=c{\int }_0^{\infty }X(t)\mathrm{d}W(t)+{\int }_0^{\infty }Y(t)\mathrm{d}W(t)$几乎处处成立；
5. $\mathbb{E}\left[{\int }_0^{\infty }X(t)\mathrm{d}W(t)\right]=0$；
6. ${\int }_0^{t}X(s)\mathrm{d}W(s)$是${\mathcal{F}}_t$可测的；
7. $\left({\int }_0^{t}X(s)\mathrm{d}W(s),t\ge 0\right)$是${\mathcal{F}}_t$鞅；
8. ${⟨{\int }_0^{\bullet }X(s)\mathrm{d}W(s),{\int }_0^{\bullet }Y(s)\mathrm{d}W(s)⟩}_t={\int }_0^{t}X(t)Y(t)\mathrm{d}s$；
9. 若$X$是有界变差的，$X(t)W(t)={\int }_0^{t}X(s)\mathrm{d}W(s)+{\int }_0^{t}W(s)\mathrm{d}X(s)$几乎处处成立。

Ito积分的扩展

我们可以把Ito积分的定义扩展到更大的的范围里。定义$$V^{\ast }=\{(Y(t),t\ge 0):实值连续随机过程，适应的(adaptive)，可测的，且\mathbb{P}\left({\int }_0^{\infty }Y(t{)}^2\mathrm{d}t<\infty \right)=1\}$$

定理：$\forall Y\in V^{\ast },\forall n\in \mathbb{N}$定义停时$${\tau }_n(\omega ):=\inf \{T\ge 0\mid {\int }_0^{T}Y(t,\omega {)}^2\mathrm{d}t\ge n\}.$$则${\lim }_{{\tau }_n}=\infty$是几乎处处成立的，且极限$${\int }_0^{\infty }Y(t)\mathrm{d}W(t):=\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^{{\tau }_n}Y(t)\mathrm{d}W(t)$$在概率收敛意义下是存在的。更准确地说，在$\{\omega \mid {\int }_0^{\infty }Y(t,\omega {)}^2\mathrm{d}t<n\}$上几乎一定成立$${\int }_0^{\infty }Y(t)\mathrm{d}W(t)={\int }_0^{{\tau }_n}Y(t)\mathrm{d}W(t).$$

多维Ito积分

设一个${\mathbb{R}}^m$值的$({\mathcal{F}}_t)$-适合随机过程$W(t)={\left(W_1(t),W_2(t),\dots ,W_m(t)\right)}^T$满足$\forall i=1,\dots ,m$，$W_i$是一个一维$({\mathcal{F}}_t)$-布朗运动，且所有分量都是独立的，则称$W(t)$为$m$-维布朗运动。

设$Y$是一个${\mathbb{R}}^{d\times m}$值随机过程，每个分量$Y_{ij},1\le i\le d,1\le j\le m$都属于$V^{\ast }$，则对$m$-维布朗运动$W$的多维Ito积分$\int Y\mathrm{d}W$是一个${\mathbb{R}}^d$-值随机变量，其分量为$${\left({\int }_0^{\infty }Y(t)\mathrm{d}W(t)\right)}_i:=\sum _{j=1}^m{\int }_0^{\infty }{Y}_{ij}(t)\mathrm{d}{W}_j(t),1\le i\le d.$$

推论：Ito等距扩展到多维的情况。设${\mathbb{R}}^{d\times m}$值过程$X,Y$的分量都属于$V$，$W$是$m$-维布朗运动，则$$\mathbb{E}\left[⟨{\int }_0^{\infty }X(t)\mathrm{d}W(t),{\int }_0^{\infty }Y(t)\mathrm{d}W(t)⟩\right]={\int }_0^{\infty }\sum _{i=1}^d\sum _{j=1}^m\mathbb{E}\left[X_{ij}(t)Y_{ij}(t)\right]\mathrm{d}t.$$
证：$$\begin{array}{rl}⟨{\int }_0^{\infty }X(t)\mathrm{d}W(t),{\int }_0^{\infty }Y(t)\mathrm{d}W(t)⟩& =\sum _{i=1}^d\sum _{j=1}^m\sum _{k=1}^m{\int }_0^{\infty }{X}_{ij}(t)\mathrm{d}{W}_j(t){\int }_0^{\infty }{Y}_{ij}(t)\mathrm{d}{W}_k(t).\end{array}$$ 现在要考虑两个独立的布朗运动$W_1,W_2$，分别相对于它们的Ito积分是否也独立呢？
设$Y_1,Y_2$是$V$中的两个简单过程$$Y_k(t)=\sum _{i=0}^{\infty }{\eta }_{ki}(\omega )1_{[t_i,t_{i+1})}(t),k\in \{1,2\}.$$ $\Pi$相同是可以做到的，只要把两个简单过程的划分点并在一起考虑就可以了。因为$Y_k$是适应$({\mathcal{F}}_t)$的随机过程，所以${\eta }_{ki}$是$(\Omega ,{\mathcal{F}}_{t_i})$上的随机变量。 $$\begin{array}{rl}\mathbb{E}\left[{\int }_0^{\infty }{Y}_1(t)\mathrm{d}{W}_1(t){\int }_0^{\infty }{Y}_2(t)\mathrm{d}{W}_2(t)\right]=& \mathbb{E}\left[\left(\sum _{i=0}^{\infty }{\eta }_{1i}\left(W_1(t_{i+1})-W_1(t_i)\right)\right)\left(\sum _{j=0}^{\infty }{\eta }_{2j}\left(W_2(t_{j+1})-W_2(t_j)\right)\right)\right]\\ =& \sum _{i\le j}\mathbb{E}\left[{\eta }_{1i}{\eta }_{2j}\left(W_1(t_{i+1})-W_1(t_i)\right)\left(W_2(t_{j+1})-W_2(t_j)\right)\right]\\ & +\sum _{i>j}\mathbb{E}\left[{\eta }_{1i}{\eta }_{2j}\left(W_1(t_{i+1})-W_1(t_i)\right)\left(W_2(t_{j+1})-W_2(t_j)\right)\right]\\ =& \sum _{i\le j}\mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[{\eta }_{1i}{\eta }_{2j}\left(W_1(t_{i+1})-W_1(t_i)\right)\left(W_2(t_{j+1})-W_2(t_j)\right)\mid {\mathcal{F}}_{t_j}\right]\right]\\ & \sum _{i>j}\mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[{\eta }_{1i}{\eta }_{2j}\left(W_1(t_{i+1})-W_1(t_i)\right)\left(W_2(t_{j+1})-W_2(t_j)\right)\mid {\mathcal{F}}_{t_i}\right]\right]\\ =& \sum _{i<j}\mathbb{E}\left[{\eta }_{1i}{\eta }_{2j}\left(W_1(t_{i+1})-W_1(t_i)\right)\mathbb{E}\left[W_2(t_{j+1})-W_2(t_j)\right]\right]\\ & +\sum _{i>j}\mathbb{E}\left[{\eta }_{1i}{\eta }_{2j}\left(W_2(t_{j+1})-W_1(t_j)\right)\mathbb{E}\left[W_1(t_{i+1})-W_1(t_i)\right]\right]\\ & +\sum _{i=j}\mathbb{E}\left[{\eta }_{1i}{\eta }_{2j}\mathbb{E}\left[W_1(t_{i+1})-W_1(t_i)\right]\mathbb{E}\left[W_2(t_{j+1})-W_2(t_j)\right]\right]\\ =& 0.\end{array}$$在利用$V$里面的过程都能用简单过程逼近得到一般情况。所以$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}\left[\sum _{i=1}^d\sum _{j=1}^m\sum _{k=1}^m{\int }_0^{\infty }{X}_{ij}(t)\mathrm{d}{W}_j(t){\int }_0^{\infty }{Y}_{ij}(t)\mathrm{d}{W}_k(t)\right]& =\sum _{i=1}^d\sum _{j=1}^m\sum _{k=1}^m\mathbb{E}\left[{\int }_0^{\infty }{X}_{ij}(t)\mathrm{d}{W}_j(t){\int }_0^{\infty }{Y}_{ij}(t)\mathrm{d}{W}_k(t)\right]\\ & =\sum _{i=1}^d\sum _{j=1}^m\mathbb{E}\left[{\int }_0^{\infty }{X}_{ij}(t)\mathrm{d}{W}_j(t){\int }_0^{\infty }{Y}_{ij}(t)\mathrm{d}{W}_j(t)\right]\\ & =\sum _{i=1}^d\sum _{j=1}^m{\int }_0^{\infty }\mathbb{E}\left[X_{ij}(t)Y_{ij}(t)\right]\mathrm{d}t【一维的Ito等距】.\end{array}$$ $\square .$