随机微分方程学习笔记04 Ito公式

Ito公式的证明很繁琐，暂时不写证明。完整的证明可以看Karatzas和Shreve在1991年的Brownian motion and stochastic calculus.2nd ed.。

$$V^{\ast }=\{(Y(t),t\ge 0):实值连续随机过程，适应的(adaptive)，可测的，且\mathbb{P}\left({\int }_0^{\infty }Y(t{)}^2\mathrm{d}t<\infty \right)=1\}$$
定理：设$h\in V^{\ast }$，$(g(t),t\ge 0)$是一个适应的过程，且满足$\forall T>0$，${\int }_0^T|g(t)|\mathrm{d}t<\infty$几乎处处成立。令$$X(t):={\int }_0^{t}g(s)\mathrm{d}s+{\int }_0^{t}h(s)\mathrm{d}W(s),t\ge 0,$$设$F\in C^{2,1}(\mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^{+},\mathbb{R})$，$Y(t)=F(X(t),t)$，则$$\begin{array}{rl}Y(t)=& Y(0)+{\int }_0^t\frac{\partial F}{\partial x}(X(s),s)h(s)\mathrm{d}W(s)\\ & +{\int }_0^t\left(\frac{\partial F}{\partial t}(X(s),s)+\frac{\partial F}{\partial x}(X(s),s)g(s)+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x^2}(X(s),s)h^2(s)\right)\mathrm{d}s,t\ge 0.\end{array}$$

定理：设h是一个${\mathbb{R}}^{d\times m}$值过程，其分量都属于$V^{\ast }$，$(g(t),t\ge 0)$是一个${\mathbb{R}}^d$-值适应的过程，且$\forall T>0$，${\int }_0^{\infty }\Vert g(t)\Vert \mathrm{d}t<\infty$几乎处处成立。令$$X(t):={\int }_0^{t}g(s)\mathrm{d}s+{\int }_0^{t}h(s)\mathrm{d}W(s),t\ge 0,$$设$W$是一个$m$-维布朗运动，$F\in C^{2,1}({\mathbb{R}}^d\times {\mathbb{R}}^{+},{\mathbb{R}}^p)$，$Y(t)=F(X(t),t),t\ge 0$，则$$\begin{array}{rl}Y(t)=& Y(0)+{\int }_0^{t}DF(X(s),s)h(s)\mathrm{d}W(s)\\ & +{\int }_0^t\left(\frac{\partial F}{\partial t}(X(s),s)+DF(X(s),s)g(s)+\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^d\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x_i\partial x_j}(X(s),s)\left(\sum _{l=1}^m{h}_{i,l}(s)h_{j,l}(s)\right)\right)\mathrm{d}s,t\ge 0.\end{array}$$其中$DF=({\partial }_{x_i}{F}_j{)}_{1\le i\le d,1\le j\le p}$表示$F$的Jacobian矩阵。