皮尔逊积矩相关系数的学习

做相似度计算的时候经常会用到皮尔逊相关系数（Pearson Correlation Coefficient），那么应该如何理解该系数？其数学本质、含义是什么？

皮尔逊相关系数理解有两个角度

一、以高中课本为例，将两组数据首先做Z分数处理之后，然后两组数据的乘积和除以样本数。

Z分数一般代表正态分布中数据偏离中心点的距离。等于变量减掉平均数再除以标准差。标准差则等于变量减掉平均数的平方和再除以样本数最后再开方。所以我们可以将公式依次精简为：

以下为python的实现：

from math import sqrt
#返回p1和p2的皮尔逊相关系数
def sim_pearson(prefs,p1,p2):
    #得到双方曾评价过的物品列表
    si = {}
    for item in prefs[p1]:
        if item in prefs[p2]:
            si[item] = 1
    #得到列表元素个数
    n = len (si)

    #如果两者没有共同之处，则返回1
    if not n:
        return  1

    #对所有偏好求和
    sum1 = sum ([perfs[p1][it] for it in si])
    sum2 = sum ([perfs[p2][it] for it in si])

    #求平方和
    sum1Sq = sum ([ pow (prefs[p1][it], 2 ) for it in si])
    sum2Sq = sum ([ pow (prefs[p2][it], 2 ) for it in si])

    #求乘积之和
    pSum = sum ([prefs[p1][it] * prefs[p2][it] for it in si])

    #计算皮尔逊评价值
    num = pSum - (sum1 * sum2 / 2 )
    den = sqrt((sum1Sq - pow (sum1, 2 ) / n) * (sum2Sq - pow ((sum2, 2 ) / 2 )))
    if not den:
        return 0
    r = num / den
    return r

二、 按照大学的线性数学水平来理解，它比较复杂一点可以看做是两组数据的向量夹角的余弦。

对于没有中心化的数据, 相关系数与两条可能的回归线y=g_x(x) 和 x=g_y(y) 夹角的余弦值一致。 

1、n个数值组成的行(x1, x2, x3,… xn)称为n维向量简记为大写字母X 

                                                        
        |X| = √x1²+x2²+x3²+…+xn²     定义为向量X的模，向量X与Y的内积为：   X·Y=x1*y1+x2*y2+..xn*yn

 2、向量X及Y的向量夹角余弦按照下式计算：

                         X·Y
        cosθ =                              
                     |X|×|Y|

 3、向量夹角余弦约接近1说明两向量相似度越高。

以下为Python的实现：

import math,numpy
def cosine_distance(u, v):
    return numpy.dot(u, v) / (math.sqrt(numpy.dot(u, u)) * math.sqrt(numpy.dot(v, v)))

从以上解释,也可以理解皮尔逊相关的约束条件:

1. 两个变量间有线性关系
2. 变量是连续变量
3. 变量均符合正态分布,且二元分布也符合正态分布
4. 两变量独立

在实践统计中一般只输出两个系数,一个是相关系数也就是计算出来的相关系数大小（在-1到1之间），另一个是独立样本检验系数，用来检验样本一致性。