2020.03.14日常总结

$$\text{洛谷P1593 因子和}$$

$【题意】：$ 给定 $a,b$，求 $a^b$ 的所有因子的和对 $9901$ 取模的值，即求：

$$\sum _{i=1}^{a^b}i(i|a^b)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9901$$

$$1\le a,b\le 5\times 10^7$$

$【思路】：$ 记 $a=\prod _{i=1}^m{p}_i^{k_i}$，其中 $p_i$ 是质数，$k_i\ge 0(1\le i\le m)$。

那么，$a^b=\prod _{i=1}^m{p}_i^{k_i\times b}$。由定理，答案 $\text{ans}=\prod _{i=1}^m(\sum _{j=0}^{k_i\times b}{p}_i^j)$。

直接算铁定不行，但是由费马小定理得，$a^{t-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}t)(t$是质数$)$ 。由题意，$p=9901$，于是我们可以算出 $\text{res=}\sum _{j=0}^{p-2}{p}_i^j$。然后，因为后面的项一定与前面的某一项相等，于是我们可以令这个数列 $t-2$ 位为一个循环，于是我们可以直接由 $\text{res}$ 得到所有循环的总和。对于后面剩余的项，我们可以暴力得到。

举个例子，比如 $k_i\times b=2\times t$，我们可以求出 $\text{res=}\sum _{j=0}^{p-2}{p}_i^j$，然后答案 $\text{ans = res}\times 2+\sum _{\text{j=0}}^3{\text{p}}_{\text{i}}^j$。

时间复杂度没用等比数列优，但是需要的知识点少，比较好理解（至少个人认为如此）。

$【代码】：$

const int mod=9901;
int calc(int x,long long t){
	int ret=1,ans=0;
	if (x==mod) return 1;
	else if (t<mod){
		for(int i=0;i<=t;i++){
			ans=(ans+ret)%mod;
			ret=(1ll*ret*x)%mod;
		}
	}
	else{
		for(int i=0;i<=mod-2;i++){
			ans=(ans+ret)%mod;
			ret=(1ll*ret*x)%mod;
		}
		ans=(1ll*ans*((t+1)/(mod-1)))%mod;
		for(int i=1;i<=(t+1)%(mod-1);i++){
			ans=(ans+ret)%mod;
			ret=(1ll*ret*x)%mod;
		}
	}
	return ans;
}
int ans=1,a,b,n;
int main(){
	scanf("%d%d",&a,&b);n=a;
	for(int i=2;1ll*i*i<=n;i++)
		if (n%i==0){
			register int ret=0;
			while (n%i==0){
				n/=i;ret++;
			}
			ans=(1ll*ans*calc(i,1ll*ret*b))%mod;
		}
	if (n>1) ans=(1ll*ans*calc(n,b))%mod;
	printf("%d",(ans+mod)%mod);
	return 0;
}