部分背包问题

部分背包问题

问题

给定 n 个物品和一个容量为C的背包，物品 i 的重量是w，其价值是v，背包问题是如何选择装入背包的物品使得装入背包中的物品总价值最大。
与0/1背包问题的区别：在部分背包问题中物品可以部分装入，但不能重复装入背包

想法

使用贪心算法解决该问题的关键是如何确定贪心策略。
举例一下几种贪心策略（根据如何选出最大的总价值）
1、选择价值最大的物品
证明反例： C = 30
W = 28 10 10
V = 30 20 20
这时选择后两个组合总价值较高
2、选择重量最轻的物品
证明反例： C = 30
W = 5 10 20
V = 1 2 20
这时如果按照重量最轻的选择总价值不如只选择最后一个
3、选择性价比最高的物品
证明因为每次加入的都是现有物品种性价比最高的物品，所以这时按照性价比（价值 / 重量）最高进行选择可以获得到整体最优解。

步骤

1、对物品进行按性价比进行降序排序（选择一个最好的排序算法）。时间复杂度：O(nlog2n)
2、依次将物品装入背包中。 时间复杂度：O(n)

总的时间复杂度：O(nlog2n)

贪心算法总结

代码

假如有三个物品，其中重量分别是{ 20 ，30,10 }，价值分别为{ 60，120，50 } ，背包的容量为50，求最大总价值

#include 
#include 
using namespace std; 
//快速排序
int partition(int W[],int V[],double num[],int i,int j)
{
	while(i < j)
	{
		while(i < j && num[i] > num[j]) i++;
		if(i < j) 
		{
			swap(num[i],num[j]);
			swap(W[i],W[j]);
			swap(V[i],V[j]);
		}
		while(i < j && num[i] > num[j]) j--;
		if(i < j)
		{
			swap(num[i],num[j]);
			swap(W[i],W[j]);
			swap(V[i],V[j]);
		}
	}
	return i;
}

void quick_sort(int W[],int V[],double num[],int i,int j)
{
	if(i < j)
	{
		int piovt = partition(W,V,num,i,j);
		quick_sort(W,V,num,i,piovt-1);
		quick_sort(W,V,num,piovt+1,j);
	}
 } 

//部分背包问题核心部分 
int knapSack(int W[],int V[],double num[],int C)
{
	double sum = 0;		//总价值
	int i; 
	//如果下个物品的重量还少于剩余容量，则加入 
	for( i = 0; W[i] < C; i++)
	{
		C = C-W[i]; 	//更新背包容量
		sum += V[i];	//加上总价值 
	 } 
	//此时背包已经不能完整装入一个物品
	//将剩余的容量 * 下个物品的性价比
	sum = sum +  (C * num[i]);
	return sum;
}
int main(int argc, char** argv) {
	int W[3] = {20,30,10};
	int V[3] = {60,120,50};
	double num[3] = {0};
	int C = 50;
	int temp = 0;
	int j = 0;
	//使用贪心策略对数据进行排序
	for(int i = 0; i < 3; i++)
	{
		num[i] = V[i]/W[i];
	 } 
	 //使用快速排序对数据排序 
	quick_sort(W,V,num,0,2);
	cout << knapSack(W,V,num,C);
	system("pause");
	return 0;
}