Grand Prix of Saratov - D. Elevator - DP

题意： 有一台电梯，可以容纳无限容量的人，初始在 0 层，每次可以移动到所载人群中 需要到达的最高层，并最终返回 0 层。每层移动时间为 1，忽略人进出时间。现在有 $n$ 名按时间顺序到达 0 层电梯口的人，第 $i$ 个人将在 $t_i$ 时刻到达电梯口，想去楼层 $a_i$。现在询问最短花费多少时间使得电梯将所有人运送玩并回到 0 层？

• $1\le n\le 2\times 10^5$
• $1\le t_i,a_i\le 10^9$

题解： 考虑第 $i$ 个人要上到第 $a_i$ 层，那么排在第 $i$ 个人前面的人 $j$，如果他要上的楼层 $a_j<a_i$，显然可以让第 $j$ 个人和第 $i$ 个人乘坐同一趟电梯，而时间不会更长。因此把这些人合并以后的 $a$ 数组是单调递减的。接着考虑动态规划，$f(i)$ 表示第 $i$ 个人时候电梯启动，把前 $i$ 个人送完所花费的最小时间，那么有 $f(i)=\min (\max (f(j)+2\times a_{j+1},t_i+2\times a_{j+1}))$，其中的 $\max$ 部分是讨论送完 $j$ 以后第 $j+1$ 到 $i$ 的人有没有来。

但是这样是 $\mathcal{O}(n^2)$ 的，不能接受，考虑怎么优化。注意到 $f(i)$ 是非递减的，而 $a_i$ 是递减的，显然对于第二部分 $t_i+2\times a_{j+1}$，我们可以维护一个 $j$ 使得 $k\in [1,j-1]$ 均有 $f(k)\le t_i$，初始让 $f(i)=t_i+a_{j+1}$，接着只需要讨论 $\min (f(j)+2\times a_{j+1})$，这东西可以用优先队列维护，但是注意必须满足 $f(j)>t_i$ 成立，因为 $t$ 也是单调递增，如果存在 $f(j)<t_i$，显然对于后面任何的 $k>i$ 均有 $f(k)<t_k$，因此直接pop它就行。

代码： 时间复杂度是 $\mathcal{O}(n\log n)$

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 2e5 + 5;
struct node {
    int t, a;
} p[maxn];
ll f[maxn];
int main() {
    int n;
    while (~scanf("%d", &n)) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d", &p[i].t, &p[i].a);
        vector v;
        for (int i = n; i >= 1; i--) {
            if (v.empty() || p[i].a > v.back().a) v.push_back(p[i]);
        }
        int m = v.size();
        reverse(v.begin(), v.end());
        priority_queue, vector>, greater>> q;
        int id = 0;
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            while (id < i && f[id] <= v[i].t) id++;
            f[i] = 2LL * v[id].a + v[i].t;
            while (!q.empty()) {
                pair now = q.top();
                if (now.second <= v[i].t) q.pop();
                else {
                    f[i] = min(f[i], now.first);
                    break;
                }
            }
            if (i < m - 1) q.push({f[i] + 2LL * v[i + 1].a, f[i]});
        }
        printf("%lld\n", f[m - 1]);
    }
    return 0;
}