贝叶斯滤波(二)贝叶斯准则的分母,η的归一化

在《概率机器人》第2章中,有这样一段话:

贝叶斯滤波(二)贝叶斯准则的分母,η的归一化_第1张图片

那么为什么p(y)不依赖x呢?作者在这里没有进行详细的说明,那么如何理解这段话呢?

我们知道,该式表示的意思是在Y=y条件下X的条件概率密度函数,先将二维连续随机变量的贝叶斯公式写出来:

                        p_{X|Y}(x|y) = \frac{p(y|x)p_{X}(x)}{p_{Y}(y)} = \frac{p(y|x)p_{X}(x)}{\int_{-\infty }^{+\infty }p(y|x)p(x)dx}

其中,

                        p_{Y}(y) = \int_{-\infty }^{+\infty }p(y|x)p(x)dx

实际上,\dpi{100} p_{Y}(y)表示的是Y=y条件下的边缘概率密度函数,根据定义我们知道求Y=y边缘概率密度只需要对x从负无穷到正无穷对x进行积分就可以求得,这里已经是把所有x的可能遍历一遍了,所以在Y=y给定的条件下,无论x最终取值多少,\dpi{100} p_{Y}(y)的值都跟x的取值没有关系。总的就是说,能影响到Y=y\dpi{100} p_{Y}(y)的值的,只有X Y的分布律,x的取值不会影响到\dpi{100} p_{Y}(y)的值。

我们通过以下两张二维联合正态概率密度图,可以很直观地感受这个结论,

贝叶斯滤波(二)贝叶斯准则的分母,η的归一化_第2张图片贝叶斯滤波(二)贝叶斯准则的分母,η的归一化_第3张图片

可以看到,两张图中,Y的取值都是0,第一张图峰值在0.12左右,而第二张图峰值在0.25左右,两张图中是呈现出不一样的概率密度函数关系。

单独分析其中一张图,我们可以发现只要Y给定了一个值,无论x的取值是多少,那么就不影响其积分的结果,因为积分是从负无穷到正无穷的。

而对比两张图我们知道,从负无穷到正无穷积分对x进行积分的值,会受到X Y的分布律,即不一样的概率密度函数关系,从而影响出现不一样的结果。

 

回到前面那里,p(y)不依赖x说的正是跟x的取值无关,所以我们可以把p(y)^{-1} 写成贝叶斯准则中的归一化变量,用 η来表示:

                        p_{X|Y}(x|y) = \frac{p(y|x)p_{X}(x)}{p_{Y}(y)} = \frac{p(y|x)p_{X}(x)}{\int_{-\infty }^{+\infty }p(y|x)p(x)dx} = \eta p(y|x)p_{X}(x)

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