第十一届 蓝桥杯 省模拟赛 摆动序列

摆动序列

题目描述

问题描述

如果一个序列的奇数项都比前一项大，偶数项都比前一项小，则称为一个摆动序列。即 a[2i]a[2i]。
　　小明想知道，长度为 m，每个数都是 1 到 n 之间的正整数的摆动序列一共有多少个。

输入格式

输入一行包含两个整数 m，n。

输出格式

输出一个整数，表示答案。答案可能很大，请输出答案除以10000的余数。

样例输入

3 4

样例输出

14

样例说明

以下是符合要求的摆动序列：
　　2 1 2
　　2 1 3
　　2 1 4
　　3 1 2
　　3 1 3
　　3 1 4
　　3 2 3
　　3 2 4
　　4 1 2
　　4 1 3
　　4 1 4
　　4 2 3
　　4 2 4
　　4 3 4

评测用例规模与约定

对于 20% 的评测用例，1 <= n, m <= 5；
　　对于 50% 的评测用例，1 <= n, m <= 10；
　　对于 80% 的评测用例，1 <= n, m <= 100；
　　对于所有评测用例，1 <= n, m <= 1000。

题目解析

  本题若穷举每一项的所有情况，时间复杂度将会非常大，所以不宜采用穷举法。经过分析可知，使用动态规划法可以用较小的时间复杂度解决这个问题。

  以题目中的样例 m=3，n=4 为例，摆动序列的长度为 3，每项的取值为 1~4。不妨在摆动序列的前面增加第 0 项，题目可转化为在第 0 项的取值为 1 时符合摆动序列条件的序列有多少个。

  动态规划的二维矩阵 dp 如下，dp[i][j] 存储的值的含义为：当第 i 个数取值为 j+1 时，从第 i 个数往后符合条件的序列有dp[i][j] 个。因此 dp[i][j] 中第 3 列的初值全为 1。

动态规划函数如下：
$$dp[i][j]=\{\begin{array}{l}dp[i][j-1]+dp[i+1][j-1],i为奇数\\ \\ dp[i][j+1]+dp[i+1][j+1],i为偶数\end{array}$$

按照动态规划函数将数组填满后， 得出的 dp[0][0] 即为摆动序列的个数。

import java.util.Scanner;
public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner input = new Scanner(System.in);
		int m = input.nextInt();
		int n = input.nextInt();
		int[][] dp = new int[m+1][n];
		for (int i = 0; i < dp[m].length; i++) {
			dp[m][i] = 1;
		}
		for (int i = m-1; i >= 0; i--) {
			if ((i&1) == 1) {
				for (int j = 1; j < n; j++) {
					dp[i][j] = (dp[i][j-1]+dp[i+1][j-1])%10000;
				}
			} else {
				for (int j = n-2; j >= 0; j--) {
					dp[i][j] = (dp[i][j+1] + dp[i+1][j+1])%10000;
				}
			}
		}
		System.out.println(dp[0][0]);
	}
}