在scratch中用多边形逼近法和弧度概念画指定圆心和半径的圆

有很多文章讨论在scratch中画圆的方法，所看到的文章中有如下方法：多边形逼近法、图章法、克隆法、三角函数法、方程遍历法、圆的标准方程法等。对于多边形逼近法，所看到文章都认为其缺点是很难精准的控制圆的半径和圆心的位置，感觉这种看法有些片面。首先看下面的脚本，使用360个边的多边形逼近圆，每边对应1度圆心角，边长为2，该圆圆心在(0,0),半径为114.6。见下图。

所画圆的半径是可以计算出来的。弧度定义：弧长/半径。所以360度角度所对应的弧度为2πr/r=2π，1度角度用弧度表示为2π/360，即近似为1/57.29578。所画圆1度圆心角对应的弧长近似为360个边的多边形的边长(为2)，根据定义，1度角度所对应弧度1/57.29578=边长2/半径，则半径为57.29578*2= 114.59156。有了半径，就可以画指定圆心位置和半径的圆，例如圆心坐标为（x,y）,半径为r，将画园起点移动到(x+r，y)，即可画指定圆心和半径的园。以上脚本第1条语句“移到x：114.6 Y：0”，将圆心坐标设定为(0，0)，圆的半径为114.6。第2条语句是设定第1条边的方向。运行效果图如下。请注意，铅笔的定位点在笔尖上，见下边右图。

应注意到，用360个边的多边形逼近圆，画圆的速度太慢了。在scratch中画圆，逼近圆的多边形的边长在15以下，就能画出比较满意的圆。可修改上边脚本：循环次数=48，每次右转7.5度，移动15步，看一看是否满意，速度快多了。见下图。

但有一个问题，圆心不在坐标原点上。这是由于设定第1条边的方向不正确。下边讨论如何得到第1条边的方向。为了直观，画出了用5、6和8条边的多边形逼近圆的图形。见下图。

这些图形都以x坐标轴为对称轴，以6边形为例，见上图，角1=角4，角2=角3，角2+角3=120度，则角4=30度，因此所画6边形的第1条边的方向为-150度，画6边形程序的第2条语句要改为“面向-150方向”。总结计算公式为：第一条边起始方向=-180+(右转角度/2)。在实际使用中，首先知道圆心位置和圆的半径，计算出周长，除以15，得出循环大概次数，调整循环次数使其能被360整除，得到循环次数，360度/循环次数得到每次右转的角度，然后用周长除以循环次数，得到每次移动步数。设定圆点坐标为：(0,0),半径=80，下边表中列出几种多边形逼近圆所需参数。
几边形   半径   起始方向   起点坐标  循环次数  右转角度  移动步数
5边形     8 0      -144       ( 8 0 , 0 )        5         7 2        100.53
6边形      80      - 150      ( 8 0 , 0 )        6        6 0         83.78
8边形      80      - 157.5    ( 8 0 , 0 )        8        4 5         62.83
36边形     80      - 175     ( 8 0 , 0 )       36        1 0         13.96
45边形     80      - 176     ( 8 0 , 0 )       45        8          11.17
按表中参数，用36边形和45边形画圆所得图形见下图。可见两者所画的圆区别不大。