Python 刷题日记：LeetCode 204: Count Primes

原题：
Description:

Count the number of prime numbers less than a non-negative number, n.

解题思路：

常规解法：

因为要求解小于n的素数个数，首先要解决如何判断一个素数。那么就是对于一个数x，只需对[2,]的数进行整除，若能整除则不是素数，不能整除则为素数。然后判断小于n的各个数是否为素数，这样做法的复杂度显然为O（n^2），在LeetCode中肯定TLE。

def countPrimes(n):
    import math

    count=0

    def judge_prime(w):
        sqrt_w=int(math.sqrt(w))
        for i in xrange(2,sqrt_w+1):

            if x%i==0:
                return 0
        return 1

    for x in xrange(2,n):

        count=count+judge_prime(x)



    return count

解法二：厄拉多塞筛法

没办法了我就去Google了一下，于是知道了厄拉多塞筛法：

西元前250年，希腊数学家厄拉多塞(Eeatosthese)想到了一个非常美妙的质数筛法，减少了逐一检查每个数的的步骤，可以比较简单的从一大堆数字之中，筛选出质数来，这方法被称作厄拉多塞筛法(Sieve of Eeatosthese)。

具体操作：先将 2~n 的各个数放入表中，然后在2的上面画一个圆圈，然后划去2的其他倍数；第一个既未画圈又没有被划去的数是3，将它画圈，再划去3的其他倍数；现在既未画圈又没有被划去的第一个数 是5，将它画圈，并划去5的其他倍数……依次类推，一直到所有小于或等于 n 的各数都画了圈或划去为止。这时，表中画了圈的以及未划去的那些数正好就是小于 n 的素数。

其实，当你要画圈的素数的平方大于 n 时，那么后面没有划去的数都是素数，就不用继续判了。如下图：

python改进版：

从上面的厄拉多塞筛法可以看出，我们只需遍历[2,],因为超过部分如果不是素数，则作为因子在前面的数已经被删除了。同时这里利用了python里list的特性[::i]取i的倍数。

def countPrimes(self, n):
    if n < 3:
        return 0
    primes = [True] * n
    primes[0] = primes[1] = False
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if primes[i]:
            primes[i * i: n: i] = [False] * len(primes[i * i: n: i])
    return sum(primes)