牛客练习赛53 B.美味果冻 分块

传送门

题意：中文题意很好理解

思路：

我们将 转换成

如何证明这步转化正确呢？
对于i=1，有j=1
对于i=2，有j=1,2
。。。
对于i=n，有j=1,2,...,n
因此如果我们反过来枚举j的话可以发现，
某个i出现的前提就是i≥j，①得证。

还有一个问题，为什么要反过来枚举j呢？
因为原来的角度入手的话， 是考虑 是 的因子，
但变成枚举j之后， 就变成考虑i是j的倍数。在计算上会很方便。
同时，的指数 j 在 i 变化时是相对不变的，便于统计。
有了①后，我们设,可以得到此时的 i∈[ kj , min((k+1)*j−1,n) ]

那对于每一段,我们有 ，我们有 (k*j+min((k+1)*j−1,n))∗(min((k+1)*j−1,n)−k*j+1)/2∗k^j （统计kj的总和）

因此我们可以得到

 注意到上述式子中的，它的取值其实是
所以其实这个部分可以利用数组去模拟(n≤3e6)，一开始数组里每个值都是1，每次更新n/j个（因为只用到n/j个），让a[i]∗=i，这样就可以等效替代快速幂。
总复杂度大约为O(nlogn)。

原博主

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define ll long long
using namespace std;
const ll mod=1e9+7;
const int maxn=3e6+10;
ll power(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll per[maxn];
void init(ll limit)
{
    for(int i=1;i<=limit;i++)
        per[i]=per[i]*i%mod;
}
int main()
{
    ll inv2=power(2,mod-2);
    ll n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        per[i]=1;
    }
    ll sum=0;
    for(int j=1;j<=n;j++)
    {
        init(n/j);
        for(int i=1;i<=n/j;i++)
        {
            ll l=min(n,1ll*(i+1)*j-1);
            sum=(sum+(l-i*j+1)*(i*j+l)%mod*inv2%mod*per[i]%mod)%mod;
        }
    }
    cout<