哈密顿算子与梯度、散度、旋度

哈密顿算子 点乘 叉乘

1、定义与性质

哈密顿算子：（数学符号：$\nabla$（又称nabla，奈布拉算子）），读来作Hamilton。
向量微分算子：$$\nabla =\frac{\partial }{\partial x}i+\frac{\partial }{\partial y}j+\frac{\partial }{\partial z}k$$

性质：

• 矢量性
• 微分算子
• 只对算子$\nabla$右边的量发生微分作用

麦克斯韦方程的微分形式：
$$\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}=\rho$$$$\frac{\partial B_x}{\partial x}+\frac{\partial B_y}{\partial y}+\frac{\partial B_z}{\partial z}=0$$
$$\frac{\partial H_z}{\partial y}-\frac{\partial H_y}{\partial z}={\delta }_x+\frac{\partial D_x}{\partial t}$$$$\frac{\partial H_x}{\partial z}-\frac{\partial H_z}{\partial x}={\delta }_y+\frac{\partial D_y}{\partial t}$$$$\frac{\partial H_y}{\partial x}-\frac{\partial H_x}{\partial y}={\delta }_z+\frac{\partial D_z}{\partial t}$$
$$\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z}=-\frac{\partial B_x}{\partial t}$$

$$\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x}=-\frac{\partial B_y}{\partial t}$$

$$\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}=-\frac{\partial B_z}{\partial t}$$

引进哈密顿算子，上式简化为：
$$\{\begin{array}{l}\nabla \cdot D=\rho \\ \nabla \cdot B=0\\ \nabla \times H=\delta +\frac{\partial D}{\partial t}\\ \nabla \times E=-\frac{\partial B}{\partial t}\end{array}$$

2、标量场的梯度

笛卡尔坐标系下的梯度：
$$\nabla P=\frac{\partial P}{\partial x}i+\frac{\partial P}{\partial y}j+\frac{\partial P}{\partial z}k=gradP$$

（结果为矢量）

3、矢量场的散度

$$\nabla \bullet V=\frac{\partial V_x}{\partial x}+\frac{\partial V_y}{\partial y}+\frac{\partial V_z}{\partial z}=divV$$
（结果为标量）

4、矢量场的旋度

笛卡尔坐标系下旋度定义：
$$\nabla \times V=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ V_x& V_y& V_z\end{array}\right|=\left(\frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\partial V_y}{\partial z}\right)i+\left(\frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial x}\right)j+\left(\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}\right)k=rotV$$
（结果为矢量）

5、哈密顿算子重要运算性质

$$\nabla \cdot (A\times B)=B\cdot \nabla \times A-A\cdot \nabla \times B$$

6、向量内积与外积的性质与几何意义

向量内积的性质：

• a^2 ≥ 0；当a^2 = 0时，必有a = 0. （正定性）
• a·b = b·a. （对称性）
• (λa + μb)·c = λa·c + μb·c，对任意实数λ, μ成立. （线性）
• cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).
• |a·b| ≤ |a||b|，等号只在a与b共线时成立.

内积（点乘）的几何意义包括：

• 表征或计算两个向量之间的夹角
• b向量在a向量方向上的投影

向量外积的性质

• a × b = -b × a. （反称性）
• (λa + μb) × c = λ(a ×c) + μ(b ×c). （线性）

向量外积的几何意义
在三维几何中，向量a和向量b的外积结果是一个向量，有个更通俗易懂的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

在3D图像学中，外积的概念非常有用，可以通过两个向量的外积，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：

在二维空间中，外积还有另外一个几何意义就是：|a×b|在数值上等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。