用广义线性模型进行数据分析（下）

之前我们已经探讨了，在构建GLM模型之前，如何进行数据预处理，接下来就介绍一下正式的建模过程。

首先我们要做的是进一步具体地分析我们应该选择模型的变量。第一步是对一个个变量单独建模，观察他们的p值：

这个p值就是假设检验的p值，意思就是我们对模型的参数进行假设检验：

$$H_0:{\beta }_j=0$$

检验的就是变量的参数在等于0和不等于0的情况下（beta=0就意味着不考虑这个解释变量），模型是否具有显著的差异，在显著性水平为0.05的情况下，如果p值小于0.05，那么我们就有足够的理由去拒绝原假设，也就是认为模型考虑了这个变量会带来显著的变化，所以我们可以简单的认为，这个p值越小，变量对模型的结果影响越大。

所以根据上述的内容，我们就可以初步筛选出log.Total_Cost、Gender、log.Interventions、Drug.0和Duration作为模型的解释变量。

下一步就是进一步分析，如何用尽可能少的变量去得到尽可能好的效果，这样做的原因主要是因为，我们用更多的变量去建模肯定能得到更好的效果，但是有时候提升并不明显，而且也可能造成过大的方差，也就是过拟合，但是用的变量不够，有可能造成较大的偏差，也就是所谓的bias-variance trade-off，一般来说，我们会通过模型的AIC（赤池信息准则，Akaike Information Criterion）去判断模型的拟合优良性，AIC越低，模型就越好。

观察表格，可以看到log.Total_Cost的p值最小（其实log.Interventions、Drug.0也一样，选哪个没区别），我们就以这个变量开始构建模型，然后逐个加入第二个变量，再分析哪个模型的AIC最低，比如log.Total_Cost加Drug.0这个模型的AIC最低，就继续在这个基础上，加入第三个变量（Gender、log.Interventions或Duration），再分析哪个模型的AIC最小，当然，在这个过程中也要注意，如果不论加入哪一个新变量，AIC减小的幅度都比较小，我们就可以认为它们带来的帮助不大，就可以停止我们的分析过程了。这里我直接给出最后的结果：log.Total_Cost和Drug.0。

利用AIC，我们还可以分析用哪个link function的效果更好，因为对poisson分布来说，我们可以选择sqrt和identity两种link function（这里指R里面可选的参数），经过对比，最后发现sqrt的效果最好，这样，我们就可以定下模型的各个参数，构建出我们的GLM模型了：

结束了吗，当然没有，因为这个模型的AIC实在是太大了，即使采取了最优的变量和link function，依然还是太大，所以接下来就需要进一步分析这个模型以及考虑如何改进了，一般来说我们会从三个角度去思考：第一，对于响应变量的分布的判断是否准确，第二，模型的解释变量和link function选择是否正确，第三，还有没有异常数据。

根据这个思路，我首先就尝试了其他分布，结合响应变量的分布曲线，以及它可以为0这一点，我尝试了高斯分布，然后重新进行了上述所有的选择解释变量的过程，再构建了一次模型：

可以看到，这次模型的AIC就降低很多了，但是这个模型是不是一个好模型还不能下定论，还需要进一步结合一些指标进行分析，比如分析模型的leverage、deviance residuals、cook’s distance等等，篇幅问题这里就不再一一细说了，一般来说，我会这样一整套流程走下去，从各个角度对模型进行评价，所以其实评价一个模型好不好，不仅仅是一两个数值可以说清楚的，包括我用了高斯分布之后模型的AIC下降了很多，也不能下定论说这个问题用高斯分布就一定比泊松分布好。

以上就展示了如何用广义线性模型分析一个实际问题，可以看到，不论是数据的预处理，还是建模之后的分析，GLM都有很高的要求，而且得到的模型还未必能很好地拟合数据，真的很麻烦，但是也不得不说，这整套分析过程是值得学习的，即使不用GLM，也可以用在其他模型上。

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