Delaunay 三角网格学习
本文是为《Mastering Opencv...》第七章准备的，他要使用主动外观模型AMM和POSIT算法做一个头部3D姿态估计。图像上的特征点由人工标定，但由于头部运动，比如张嘴，会导致外观形状的扭曲，即特征带点坐标变化，但相对位置几乎不变。因此我们要将这些特征点映射到一个稳定的模型上。我们采用Delaunay三角网格。【As the shape we are looking for might be distorted, such as an open mouth for instance, we are required to map our texture back to a mean shape】
本文内容将首先介绍Delaunay相关概念，然后分别给出OPENCV实现、c代码实现【改写自网上，结果似乎有问题】
一、Delaunay三角刨分算法简介
1.三角刨分定义
三角刨分：假设V是二维实数域上的有限点集，边e是由点集合V中的点作为端点构成的封闭线段，E为e的集合。那么，点集V的一个三角刨分T=(V,E)是一个平面图G，该平面图满足条件：
a.除了端点，平面图中的边不包含点集中的任何点
b.没有相交边
c.平面图中所有的面都是三角面 ，且所有三角面的合集是散点集V的凸包【用不严谨的话来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边型，它能包含点集中所有点的】
2.Delaunay三角刨分定义
Delaunay三角刨分是一种特殊的三角刨分：
a.Delaunay边：E中的一条边e(两个端点为a,b)，满足条件：存在一个圆经过a,b两点，圆内(在圆内、圆上最多三点共圆)不包含点集V中其他任何点
b.Delaunay刨分：如果点集V的一个三角刨分T只包含Delaunay边，那么该三角刨分称为Delaunay刨分
3.Delaunay刨分算法
主要有3种：
a.Lawson算法，首先建立一个大的三角形或多边形，把所有数据点包围起来 ，向其中插入一点，该点与包含他的三角形三个点相连，形成3个新 三角形，然后对其逐一进行空外接圆检测，同时用Lawson设计的局部优化过程LOP进行优化，即通过交换对角线的方法来保证所形成的三角网为Delaunay三角网。
b,Bowyer-Watson算法，The Bowyer–Watson algorithm is an incremental algorithm. It works by adding points, one at a time, to a valid Delaunay triangulation of a subset of the desired points. After every insertion, any triangles whose circumcircles contain the new point are deleted, leaving a star-shaped polygonal hole which is then re-triangulated using the new point.
具体可查文献：
- Bowyer, Adrian (1981). "Computing Dirichlet tessellations". Comput. J. 24 (2): 162–166. doi:10.1093/comjnl/24.2.162.
- Watson, David F. (1981). "Computing the n-dimensional Delaunay tessellation with application to Voronoi polytopes". Comput. J. 24 (2): 167–172.doi:10.1093/comjnl/24.2.167.
c.生长法，待会下文会给出，就是执行效率比较慢：
(1)随机选择一个起始点A，然后选择一个离这个点距离最近的点B，构成初始边，加入边表；
(2)在剩余点中选择一个点作为第三个点C，使得角ACB最大，新生成两个边AC和BC加入边表，并把三角形ABC作为第一个三角形加入三角形表中；
(3)从边表中取出一条边DE，边的两个端点是E和D，设其已在三角形DEF中；边DE把平面分成两个半平面，在剩余的离散点中寻找一个离散点G，它与点F不在边DE的同一个半平面中，且角DGE最大，把新边DG和EG加入边表，把新三角形DGE加入三角形表中；
(4)如果剩余的离散点表中还有点，则转至(3)，否则算法结束。
二、具体实现：
测试的三点集数据，存在txt中，第一行分别表示行数和列列数：
1.opencv版本：
// My_Triangulation.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
//
#include "stdafx.h"
#include
#include "cv.h"
#include "highgui.h"
#include
using namespace std;
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
FILE* in;
IplImage *dest;
int rows,cols,i,j,a,b,total,count;
CvMemStorage* storage;
CvSubdiv2D* subdiv;
vector points;
CvSeqReader reader;
CvPoint buf[3];
//读入文本数据
in = fopen("data.txt","r");
fscanf(in,"%d%d",&rows,&cols);
CvRect rect = { 0, 0, 640, 480 };
storage = cvCreateMemStorage(0);
subdiv = cvCreateSubdivDelaunay2D(rect,storage);
count = 0;
//初始化坐标
for(i=0;iedges->total;
int elem_size = subdiv->edges->elem_size;
cvStartReadSeq((CvSeq*)(subdiv->edges), &reader, 0);
CvNextEdgeType triangleDirections[2] = {CV_NEXT_AROUND_LEFT,CV_NEXT_AROUND_RIGHT};
for(int tdi = 0;tdi<2;tdi++){
CvNextEdgeType triangleDirection = triangleDirections[tdi];
for(i = 0; i < total; i++){
CvQuadEdge2D* edge = (CvQuadEdge2D*)(reader.ptr);
if(CV_IS_SET_ELEM(edge)){
CvSubdiv2DEdge t = (CvSubdiv2DEdge)edge;
int shouldPaint=1;
for(j=0;j<3;j++){
CvSubdiv2DPoint* pt = cvSubdiv2DEdgeOrg(t);
if(!pt) break;
buf[j] = cvPoint(cvRound(pt->pt.x), cvRound(pt->pt.y));
t = cvSubdiv2DGetEdge(t, triangleDirection);
if((pt->pt.x<0)||(pt->pt.x>dest->width))
shouldPaint=0;
if((pt->pt.y<0)||(pt->pt.y>dest->height))
shouldPaint=0;
}
if(shouldPaint){
cvLine(dest,buf[0],buf[1],CV_RGB(0,255,0),1,8,0);
cvLine(dest,buf[1],buf[2],CV_RGB(0,255,0),1,8,0);
cvLine(dest,buf[2],buf[0],CV_RGB(0,255,0),1,8,0);
printf("%d,%d,%d,%d,%d,%d\n",buf[0].x,buf[0].y,buf[1].x,buf[1].y,buf[2].x,buf[2].y);
count++;
}
}
CV_NEXT_SEQ_ELEM(elem_size, reader);
}
}
printf("%d",count);
cvSaveImage("test.jpg",dest);
cvNamedWindow("三角刨分",0);
cvShowImage("三角刨分",dest);
cvWaitKey(0);
return 0;
}
实验结果：
2.生长法：
Delaunay三角网有一个特性，每个三角网形成的外接圆都不包含其他参考点。利用这一个性质，我们可以直接构成Delaunay三角网：
(1).建立第一个三角形
a.判断用来建立TIN的总脚点数，小于3则报错退出。
b.第一点的选择：链表的第一节点，命名为Pt1;
c.第二点的选择，命名为Pt2，条件1：非Pt1点；条件2：B.距Pt1最近；
d.第三点的选择，命名为Pt3，条件1：非Pt1，Pt2点；条件2：与Pt1，Pt2点组成的三角形的外接圆内无其他节点；条件3：与Pt1，Pt2组成的三角形中的角∠Pt1Pt3Pt2最大。
e.生成三边，加入边表
f.生成第一个三角形，组建三角形表
(2).扩展TIN
a.从边表头取一边，要求：该边flag标志为假（只在一个三角形中）
b.从点链表中搜索一点，要求：条件1：与边中的Pixel3在边的异侧；条件2：该点与边组成的三角形的外接圆内无其他点；条件3：满足上面两条件的点中角Pt1Pt3Pt2最大的点为Pt3。
c.判断新生成的边，如果边表中没有，则加入边表尾，设定标志flag为假，如果有，则设定该边flag为真。
d.将生成的三角形假如三角形表
e.设定选中的边的标志flag为真
f.转至a，直至边表边的标志flag全部为真。
代码，主体部分改编自csdn论坛某篇帖子，都是链表操作。。。
// Triangulation_noopencv.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
//
#include "stdafx.h"
#include "cv.h"
#include "highgui.h"
struct Pixel //散点数据
{
double x,y;
bool flag;
};
struct List //数据链表
{
Pixel *pixel;
List *next;
};
struct Line //三角形边
{
Pixel *pixel1; //三角形边一端点
Pixel *pixel2; //三角形边另一端点
Pixel *pixel3; //三角形边所对顶点
bool flag;
};
struct Linelist //三角形边表
{
Line *line;
Linelist *next;
};
struct Triangle //三角形表
{
Line *line1;
Line *line2;
Line *line3;
Triangle *next;
};
Triangle *CreateDelaunayTIN(List *list);
double calc_dist(double x1,double y1,double x2,double y2);
Pixel circumcenter (Pixel p0 , Pixel p1 , Pixel p2);//求外接圆圆心
bool vaild_triangulaion(List *list,double radius,Pixel center,Pixel *a,Pixel *b ,Pixel *c);
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
FILE* in;
int rows,cols,a,b,i,j,count;
List *my_list,*p;
IplImage *result;
my_list = (List *)malloc(sizeof(List));
my_list->pixel = NULL;
my_list->next = NULL;
p = my_list;
count = 0;
result = cvCreateImage(cvSize(600,480),IPL_DEPTH_8U,3);
//读入文本数据
in = fopen("data.txt","r");
fscanf(in,"%d%d",&rows,&cols);
//初始化坐标,并存入List链表中
for(i=0;ix = a;
data->y = b;
if (my_list->pixel == NULL)
{
p->pixel = data;
p->next = NULL;
}else{
List *q = (List *)malloc(sizeof(List));
q->pixel = data;
q->next = NULL;
p->next =q;
p = p->next;
}
}
}
//显示图像
CvPoint pt1,pt2,pt3;
Triangle *head = CreateDelaunayTIN(my_list);
Triangle *hp = head;
while (hp) //fuck,每个三角形存三条边，六个顶点，尼玛有病是不？
{
pt1.x = hp->line1->pixel1->x;pt1.y = hp->line1->pixel1->y;
pt2.x = hp->line1->pixel2->x;pt2.y = hp->line1->pixel2->y;
//寻找第三个点
if (hp->line2->pixel1->x ==pt1.x&&hp->line2->pixel1->y ==pt1.y)
{
pt3.x = hp->line2->pixel2->x;
pt3.y = hp->line2->pixel2->y;
}else if (hp->line2->pixel2->x ==pt1.x&&hp->line2->pixel2->y ==pt1.y)
{
pt3.x = hp->line2->pixel1->x;
pt3.y = hp->line2->pixel1->y;
}else if (hp->line2->pixel1->x ==pt2.x&&hp->line2->pixel1->y ==pt2.y)
{
pt3.x = hp->line2->pixel2->x;
pt3.y = hp->line2->pixel2->y;
}else
{
pt3.x = hp->line2->pixel1->x;
pt3.y = hp->line2->pixel1->y;
}
printf("%d,%d,%d,%d,%d,%d\n",pt1.x,pt1.y,pt2.x,pt2.y,pt3.x,pt3.y);
cvLine(result,pt1,pt2,CV_RGB(0,255,0),1,8,0);
cvLine(result,pt2,pt3,CV_RGB(0,255,0),1,8,0);
cvLine(result,pt3,pt1,CV_RGB(0,255,0),1,8,0);
hp = hp->next;
count++;
}
printf("%d",count);
cvNamedWindow("三角刨分",0);
cvShowImage("三角刨分",result);
cvSaveImage("result.jpg",result);
cvWaitKey(0);
return 0;
}
double calc_dist(double x1,double y1,double x2,double y2)
{
return (x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2);
}
//外接圆圆心
Pixel circumcenter (Pixel *p0 , Pixel *p1 , Pixel *p2)
{
Pixel ret;
double a1=p1->x-p0->x,b1 = p1->y - p0->y,c1 = (sqrt(a1) + sqrt(b1)) / 2;
double a2=p2->x-p0->x,b2 = p2->y - p0->y,c2 = (sqrt(a2) + sqrt(b2)) / 2;
double d = a1 * b2 - a2 * b1;
ret.x = p0->x + (c1 * b2 - c2 * b1) / d;
ret.y = p0->y + (a1 * c2 - a2 * c1) / d;
return ret;
}
bool vaild_triangulaion(List *list,double radius,Pixel center,Pixel *a,Pixel *b ,Pixel *c)
{
bool result = true;
List *p;
p=list;
while (p)
{
if (p->pixel!=a&&p->pixel!=b&&p->pixel!=c)
{
if ((calc_dist(p->pixel->x,p->pixel->y,center.x,center.y) - radius )<= 0)
{
//外接圆内有其他点
result = false;
}
}
p = p->next;
}
return result;
}
Triangle *CreateDelaunayTIN(List *list)
{
//组建第一个三角形
List *node;
Pixel *pt1,*pt2,*pt3;
bool flag;
Triangle *TIN;
pt1=list->pixel;
pt2=list->next->pixel;
node=list->next->next;
while(node!=NULL) //找p2点，使得p2与p1组成的边最短
{
if(calc_dist(pt1->x,pt1->y,node->pixel->x,node->pixel->y) <
calc_dist(pt1->x,pt1->y,pt2->x,pt2->y)){
pt2=node->pixel;
}
node=node->next;
}
node=list->next;
pt3=NULL;
while(node!=NULL)
{
if(node->pixel==pt1 || node->pixel==pt2){
node=node->next;
continue;
}
if(pt3==NULL)
{
pt3=node->pixel;
}else //pt3根据，pt1,pt2组成的边，计算a^2+b^2-c^2/(2*a*b)，取最小的pt3
{
//余弦定理，让选pt3，使得∠pt1pt3pt2最大
if((pow(calc_dist(pt1->x,pt1->y,node->pixel->x,node->pixel->y),2)+pow(calc_dist(pt2->x,pt2->y,node->pixel->x,node->pixel->y),2)
- pow(calc_dist(pt1->x,pt1->y,pt2->x,pt2->y),2))/(2*calc_dist(pt1->x,pt1->y,node->pixel->x,node->pixel->y)*calc_dist(pt2->x,pt2->y,node->pixel->x,node->pixel->y))
< (pow(calc_dist(pt1->x,pt1->y,pt3->x,pt3->y),2)+pow(calc_dist(pt2->x,pt2->y,pt3->x,pt3->y),2)
-pow(calc_dist(pt1->x,pt1->y,pt2->x,pt2->y),2))/(2*calc_dist(pt1->x,pt1->y,pt3->x,pt3->y)*calc_dist(pt2->x,pt2->y,pt3->x,pt3->y))){
Pixel temp = circumcenter(pt1,pt2,node->pixel); //求外接圆圆心
double radius = calc_dist(temp.x,temp.y,pt1->x,pt1->y);
//遍历所有结点，如果pt3与Pt1，Pt2点组成的三角形的外接圆内无其他节点；
if (vaild_triangulaion(list,radius,temp,pt1,pt2,node->pixel))
{
pt3=node->pixel;
}
}
}
node=node->next;
}
//LineList
Linelist *linehead,*linenode,*linelast;
Line *ln1,*ln2,*ln3;
linenode=new Linelist;
linenode->line=new Line;
linenode->line->pixel1=pt1;
linenode->line->pixel2=pt2;
linenode->line->pixel3=pt3;
linenode->line->flag=false;
linenode->next=NULL; //第一个三角形边
linehead=linelast=linenode;
ln1=linenode->line;
linenode=new Linelist;
linenode->line=new Line;
linenode->line->pixel1=pt2;
linenode->line->pixel2=pt3;
linenode->line->pixel3=pt1;
linenode->line->flag=false;
linenode->next=NULL; //构造第二个三角形边
linelast->next=linenode;
linelast=linenode;
ln2=linenode->line;
linenode=new Linelist;
linenode->line=new Line;
linenode->line->pixel1=pt3;
linenode->line->pixel2=pt1;
linenode->line->pixel3=pt2;
linenode->line->flag=false;
linenode->next=NULL; //构造第三个三角形边
linelast->next=linenode;
linelast=linenode;
ln3=linenode->line;
//first Triangle
Triangle *tglhead,*tglnode,*tgllast;
tglnode=new Triangle;
tglnode->line1=ln1;
tglnode->line2=ln2;
tglnode->line3=ln3;
tglnode->next=NULL;
tglhead=tgllast=tglnode;
//expend tin;
Linelist *linetmp,*linetemp;
List *pixeltmp;
double x1,y1,x2,y2,x3,y3;
linetmp = linehead;
while(linetmp!=NULL)
{
if(linetmp->line->flag==true) //从边表中取出一条边，该边只在个三角形中
{
linetmp=linetmp->next;
continue;
}
ln1=linetmp->line;
pt1=linetmp->line->pixel1;
pt2=linetmp->line->pixel2;
x1=linetmp->line->pixel1->x;
y1=linetmp->line->pixel1->y;
x2=linetmp->line->pixel2->x;
y2=linetmp->line->pixel2->y;
x3=linetmp->line->pixel3->x;//该边对面的顶点
y3=linetmp->line->pixel3->y;
pixeltmp=list;
pt3=NULL;
pt3=NULL;
while(pixeltmp!=NULL)
{
if(pixeltmp->pixel==pt1 || pixeltmp->pixel==pt2) //从点表中取出一点
{
pixeltmp=pixeltmp->next;
continue;
}
if(((y2-y1)*pixeltmp->pixel->x+(x1-x2)*pixeltmp->pixel->y+(x2*y1-x1*y2))*((y2-y1)*x3+(x1-x2)*y3+(x2*y1-x1*y2))>=0)//边对应顶点的异侧判断
{
pixeltmp=pixeltmp->next;
continue;
}
if(pt3==NULL)pt3=pixeltmp->pixel;
else
{
//余弦定理，让选pt3，使得∠pt1pt3pt2最大
if((pow(calc_dist(pt1->x,pt1->y,pixeltmp->pixel->x,pixeltmp->pixel->y),2)+pow(calc_dist(pt2->x,pt2->y,pixeltmp->pixel->x,pixeltmp->pixel->y),2)-pow(calc_dist(pt1->x,pt1->y,pt2->x,pt2->y),2))/(2*calc_dist(pt1->x,pt1->y,pixeltmp->pixel->x,pixeltmp->pixel->y)*calc_dist(pt2->x,pt2->y,pixeltmp->pixel->x,pixeltmp->pixel->y))
<(pow(calc_dist(pt1->x,pt1->y,pt3->x,pt3->y),2)+pow(calc_dist(pt2->x,pt2->y,pt3->x,pt3->y),2)-pow(calc_dist(pt1->x,pt1->y,pt2->x,pt2->y),2))/(2*calc_dist(pt1->x,pt1->y,pt3->x,pt3->y)*calc_dist(pt2->x,pt2->y,pt3->x,pt3->y)))
{
Pixel temp = circumcenter(pt1,pt2,pixeltmp->pixel); //求外接圆圆心
double radius = calc_dist(temp.x,temp.y,pt1->x,pt1->y);
//遍历所有结点，如果pt3与Pt1，Pt2点组成的三角形的外接圆内无其他节点；
if (vaild_triangulaion(list,radius,temp,pt1,pt2,pixeltmp->pixel))
{
pt3=pixeltmp->pixel;
}
}
}
pixeltmp=pixeltmp->next;
}
if(pt3!=NULL)
{
linetemp=linehead;
flag=false;
while(linetemp!=NULL) //判断新生成的边
{
if((pt1==linetemp->line->pixel1 && pt3==linetemp->line->pixel2)
|| (pt3==linetemp->line->pixel1 && pt1==linetemp->line->pixel2))
{
linetemp->line->flag=true;
flag=true;
break;
}
linetemp=linetemp->next;
}
if(!flag) //在边表末尾插入新的边pt1pt3
{
linenode=new Linelist;
linenode->line=new Line;
linenode->line->pixel1=pt3;
linenode->line->pixel2=pt1;
linenode->line->pixel3=pt2;
linenode->line->flag=false;
linenode->next=NULL;
linelast->next=linenode;
linelast=linenode;
ln2=linenode->line;
}
linetemp=linehead;
flag=false;
while(linetemp!=NULL)
{
if((pt2==linetemp->line->pixel1 && pt3==linetemp->line->pixel2)
|| (pt3==linetemp->line->pixel1 && pt2==linetemp->line->pixel2))
{
linetemp->line->flag=true;
flag=true;
break;
}
linetemp=linetemp->next;
}
if(!flag) //在边表末尾插入新的边pt2pt3
{
linenode=new Linelist;
linenode->line=new Line;
linenode->line->pixel1=pt2;
linenode->line->pixel2=pt3;
linenode->line->pixel3=pt1;
linenode->line->flag=false;
linenode->next=NULL;
linelast->next=linenode;
linelast=linenode;
ln3=linenode->line;
}
tglnode=new Triangle;
tglnode->line1=ln1;
tglnode->line2=ln2;
tglnode->line3=ln3;
tglnode->next=NULL;
tgllast->next=tglnode; //在三角形表插入新的三角形
tgllast=tglnode;
}
linetmp->line->flag=true;
linetmp=linetmp->next;
}
TIN=tglhead;
return TIN;
}
实验结果：
居然画成这样，我也很无语。。。但是生长法还是很好实现的，具体论文什么的，自己去中国智网搜吧
另外，用opencv做三角刨分的，这个哥们做的很详细：http://blog.csdn.net/raby_gyl/article/details/17409717
百度文库里，还有一种用java实现代码：http://wenku.baidu.com/view/1f0d15147375a417866f8f70.html