剑指Offer面试题32（java版）：从1到n整数中1出现的次数

题目：输入一个整数n，求从1到n个整数的十进制表示中1出现的次数。例如输入12，从1到12这些整数中包含1的数字有1，10，11，和12，1一共出现了5次。

方法一：不考虑时间效率的解法，靠它拿到Offer有点难：

如果在面试的时候碰到这个问题，应聘者大多能想到最直观的方法，也就是累加1到n中每个整数1出现的次数。我们可疑每次通过对10求余数判断整数的个位数字是不是1.如果这个数字大于10，除以10之后再判断个位数字是不是1.基于这个思路，我们写出下面的代码：

/**
 * 从1到n整数中1出现的次数
 */
package swordForOffer;

/**
 * @author JInShuangQi
 *
 * 2015年8月8日
 */
public class E32NumberOf1 {
	public int numberOf1BetweenAndN(int n){
		int number = 0;
		for(int i = 1;i<= n;i++){
			number+=numberOf1(i);
		}
		return number;
	}
	public int numberOf1(int n){
		int number =0;
		while(n!=0){
			if(n %10 == 1)
				number++;
			n = n/10;
		}
		return number;
	}
	public static void main(String[] args){
		int n =12;
		E32NumberOf1 test = new E32NumberOf1();
		System.out.println(test.numberOf1BetweenAndN(n));
	}
}

从上述思路中，我们对每个数字都要做出发和求余运算以求出该数字中1出现的次数。如果输入数字n，n有O(logn)位，我们需要判断每一位是不是1，那么它的时间复杂度是O(n*logn)。当输入n非常大的时候，需要大量的计算，运算效率不高。面试官不会满意这种算法。

方法二：从数字规律着手明显提高时间效率的解法，能让面试官耳目一新

如果希望不用计算每个数字的1的个数，那就只能寻找1在数字中出现的规律了。为了找到规律，我们不妨用一个稍微大一点的数字比如21345作为例子来分析。我们把从1到21345的所有数字分为两段，一段是从1到1345，另一段是从1346到21345

我们先看从1346到21345中1出现的次数。1出现分为两种情况。首先分析1出现在最高位的情况。从1346到21345的数字中，1出现在10000——19999这10000个数字的万位中，一共出现了10000个。

值得注意的是，并不是对所有的5位数而言在万位出现的次数都是10000个，对于万位是1的数字比如输入12345，1出现在10000——12345的万位，出现的次数不是10000，而是2346次，也就是除去最高位数字之后剩下的数字再加1（即2345+1= 2346）

接下来分析1出现在最高位之外的其他四位数中的情况。例如中1346——21345这20000个数字中后4位中1出现的次数是2000次。由于最高位是2，我们可疑再把1346——21345这20000个数字中后4位出现1出现的次数是2000次。由于最高位是2，我们可以再把1346——21345分为两段，1346——11345和11346——21345.每一段剩下的四位数字中，选择其中一位是1，其余三位可以在0——9这10个数字中任意选择，因此根据排列组合原则总共出现的次数为2*10（2） = 2000次。

至于从1到1345中1出现的次数，我们可以用递归求得了。这也是我们为什么把1——21345分成1——1345和1346——21345两段的原因。因为把21345的最高位去掉就编程了1345，便于我们采用递归的思路。

具体实现代码就不再写了