复变函数知识梳理

历史寻根复变函数的前世今生：

历史上第一个遇到‘虚数’即复数的人是印度的数学家Bhaskara Achary(约114-1185)他在解方程时候认为是没有意义的。1484年法国数学家N.ChuQuest(约1445-1500)在解方程时候得到的根是,他被这个"怪数"弄的不知所措。1545年，意大利数学家G.Cardano(1501-1576)在解方程时候，把这个方程的两个根，从而引进了复数。与他同时期的另一位意大利数学家Rafael Bombelli(1526-1572) 在其《代数》一书中从已知的实数运算法则类推出了复数的四则运算。
1629年，荷兰科学家A.Girard(1595-1632)在其《代数新发明》一书中引入了符号来表示虚数单位。稍后，法国科学家R.Descartes(1596-1632)用来记，并且第一次使用“复数”，“虚数”这些概念。1843年，瑞士科学家L.Euler(1707-1783)发现了著名的欧拉公式。1797年，丹麦数学家C.Wessel在坐标平面上引进了实轴与虚轴，使得复数与平面上的点一一对应，从而使得“复数”有了“立足之地”。
此后，爱尔兰数学家W.R.Hamilton(1805-1965)发展了复数的一个代数解释：每个复数都可以用一个实数对表示。18世纪以后，以欧拉为首的数学家们发展起来了一门新的数学分支—复变函数论。19世纪以后，法国数学家柯西，德国数学家黎曼，威尔士特拉斯等人使复变函数论得到巨大的发展，并且广泛地应用到空气动力学，流体力学，电学，热学等等方面

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写到这里我要说点题外话了，情不知所起，科学家真的很伟大我真的很佩服他们，无数的科学家呕心沥血前赴后继才有了科学技术才有了人类文明的繁荣昌盛，才让我们人类拥有了改造大自然，利用大自然的能力，我想在这里向伟大的数学家，伟大的物理学家，伟大的生物学家，一切为人类社会做贡献的人致敬！

（笔者大学专业是信息与计算机科学，学了一半数学也学了一半计算机，个人认为我还是对计算机更加的感兴趣，当然数学也感兴趣但是总体而言我对计算机的热情要高过数学，因此笔者学数学主要在吸收数学思想知道如何使用数学工具，不会去像其他人一样把每一个证明过程都牢牢的记在心里，我只注重实用，会忽略到许多细枝末节文章有浅薄之处还请各位高抬贵手放小弟一马！）

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复变函数知识树如下：

复变函数与积分变换.png

复数与复变函数

浅谈复数：

复数的一般形式为 具有性质 显然复数由实部（x）和虚部（y）构成实部和虚部（x,y）很自然的对应着直角坐标系上的一点因此我们就可以把复数与向量联系起来，如此复数的加法和减法都可以类比向量的运算，复平面上的一个向量的模长就是其对应复数的模设若负向量与x轴的夹角为则有于是复数又可以表示成又由Euler公式可得这种形式称为复数的指数表达式

何为复变函数？

所谓复变函数形如,复数的函数,复变函数的英文拼写为(Complex Variables)，所谓复变函数即为变量为复数的函数。实际上的实部和往往可以表示为一个含的二元函数即 ,这样我们研究复变函数就只要分别研究复变函数所对应的实部函数和虚部函数。

研究复变函数的tools

在数学分析或者高等数学中我们研究实变函数式通过研究函数的可导性，连续性，和极限来刻画实变函数的性质的，于是我们伟大的数学家们希望这些成熟的工具拿过来刻画复变函数，实践证明这是可行的，实际上我认为数学家们研究复变函数并不仅仅是因为数学游戏好玩兴趣使然才驱使数学家绞尽脑汁的去研究这么个东西，而是因为19世纪-20世纪物理学的蓬勃发展因为当时的科学技术需要才催生出的这么一门学科，如果解决了复数问题，那么生活中的许多问题都可以迎刃而解了。数学本就是和艺术一样源于生活又高于生活但是却与生活息息相关的一门科学，而不是什么披着宗教外衣的伪科学。

解析函数的概念与解析的充要条件

毫无疑问要想把复变函数像实变函数那样研究并且希望找到实变函数与复变函数桥梁把二者联系起来，那么复变函数的连续性与可导性，复变函数的积分性质以及复变函数在级数上的表实就必须弄清

复变函数的连续性和可导性质

上文已经提到过了要研究复变函数的性质只需要研究复变函数的虚部函数和虚部函数的性质。
复变函数在某一点可导的充要条件:
虚部函数与实部函数在某一点可微且满足Cauchy-Rieman方程：
复变函数解析的概念：
如果复变函数在一点可导且在这点的一个领域内处处可导，则称复变函数在这一点解析（注意复变函数在一点可导未必解析即可导是解析的必要不充分条件），如果复变函数在区域D内处处可导则称复变函数在区域D内解析。
复变函数在区域D解析的充要条件：
如果复变函数的实部函数与虚部函数在D内处处可微且满足柯西—黎曼方程那么称复变函数为区域D内的解析函数。
Laplace方程的导出：
因为解析函数满足Cauchy-Rieman条件，由于解析函数可以求N阶导数，把柯西-黎曼方程:

两式分别关于求导后可以导出Laplace：同理，我们把满足Laplace方程的函数称为调和函数，显然解析函数的实部函数和虚部函数是调和函数，于是数学家们把满足C-R条件的一对调和函数称为共轭调和函数，事实上一对共轭调和函数也可以构成一个解析函数，于是我们又得到复变函数在区域D内解析的一个充要条件即：复变函数的实部函数和虚部函数是一对共轭调和函数。于是我们只要知道一个调和函数我们就可以根据这个调和函数由柯西-黎曼条件我们就可以求出与已知的调和函数共轭的另一个调和函数，并且可以把这一对共轭调和函数组合成一个解析函数。
复初等函数：
因为实变函数与复变函数的主要差别就在与复变函数的变量为复数事变函数的为实数，总所周知在实变函数中许多的函数都是由初等函数复合而成，由此我们不难想象许多的复变函数也是由复初等函数复合而成的，因此认识清楚复变函数的初等函数也是由必要的，下面我只列举出复初等函数的形式，因为比较简单，在这里不做过多的叙述。

上面研究的复变函数的可导性与解析性让我们对复变函数有了一个初步的了解，本质上就是把实变函数的性质在复变函数上推广，数学家们研究复变函数也是为了解决实际问题的，许多在实变函数上面问题用现有的实变函数上面的性质解决的话要么就是过于复杂计算困难，要么就是用实变函数根本无法啊解决，因此数学家门希望从复变函数上面找到突破口，成为解决实际问题的一种新的方法，实际上实变函数于复变函数有着很自然的联系，这正好从哲学上应验了万事万物或多或少都存在着联系
上面的知识都只是把实变函数的某些性质实在复变函数上面做简单的推广只是简单的从函数的角度来刻画复变函数，下面将展示如何从数的角度来刻画复变函数

复变函数的积分性质

积分公式的推导：
容易是C上的连续函数，且复积分存在，则：
设曲线C的参数方程是
将参数方程带入导出可得
单连通区域的柯西积分公式：
如果函数在单连通区域D解析，则在D内沿任一简单曲线C的积分：
证 由格林公式：
又由C-R条件则得：
柯西积分公式是在单连通区域内才满足，如果是多连通区域又怎么计算简单曲线的积分？如果不是单连通区域我们只需要做辅助线把多连通区域变成单连通区域即可，由此就得到在多连通区域上的复合闭路定理：,特别的如果D是由内外两条闭路,围成的环形区域，而在D内及其边界上是解析的，则有
柯西积分公式：
设函数在简单闭曲线C上及其D内部是解析的，是D内的任意一点则： (1)
这个公式是由复合闭路定理推导而来，其思想是以为中心做一个小圆周K其半径为r，由复合闭路定理有：,当小圆周K的半径时候而 即求得一式，当然这只是思想，证明还需要严格的推理，这里不做叙述。
高阶导数公式
,证略
复数幂级数：
解析函数的泰勒展开定理：
函数在区域D内解析，是区域内一点R为到D边界的最短距离则当时候有

复幂级数 如果收敛，一定在某一个圆域内收敛于一个解析函数，解析函数在解析域内也能够展开成一个复幂级数，由此可见复幂级数于解析函数之间有着天然的联系
洛朗级数:
解析函数可以展开成幂级数这是一个不争的事实，但是在现实生活中的问题往往是函数在某个点不解析但是在这个点附近的圆盘区域内解析，此时不能用含有的幂级数展开。
我们称形如 的级数称之为洛朗级数。数学家们证明了洛朗级数的收敛区域为圆环而且在圆环区域D：内解析则,其中这里的C为圆环区域内的任意的圆周:
留数：
解析函数可以在圆环域内展开为幂级数，可以在圆环域内展开为洛朗级数。圆环的一种退化形式是一点的去心领域，当函数在一点的去心领域内解析而在这点不解析的时候这一点就是复变函数的一个孤立奇点，所以洛朗级数就成为研究复变函数孤立奇点的一个有力工具，而解析函数在孤立奇点处的留数是解析函数论中的重要概念之一，且留数在计算上有着巧妙的运用，复变函数在闭曲线上的积分问题可以转化求其孤立奇点的留数问题。
孤立奇点的分类：

如果一个复变函数的在其孤立奇点处的洛朗展开式中不包含的负幂项，那么就称这个奇点为孤立奇点，如果负幂项次数绝对值的最大值为m我们就称这个奇点为m级级点，如果有无穷多个负幂项那么就称这个奇点为本性奇点。
留数的定义及计算：
函数在的去心领域内解析但是在不解析，则函数在点可以洛朗展开，其中 ,,相当于知道了就等于知道了积分的值由此就有了留数的概念，若是的孤立奇点记在处的留数为
留数定理:
C是一条正向的简单闭曲线，若在C上及其C的内部D除去有限个孤立奇点外处处解析，那么定理证明由复合闭路定理。
极点处的留数：
如果为函数的m级级点则：

如果为函数的一级级点则:

上面的知识点分别从函数性质以及数的角度刻画了复变函数，如果想要更加形象更加直观的刻画复变函数毫无疑问必须从集合的角度出发，我们可以从变换和映射的角度去考虑复变函数

复变函数的几何特性

在研究许多实际问题中，往往会遇到区域的复杂性，给问题的研究带来困难，那么我们该怎么办嘞？在空间解析几何中我们学习过极坐标变换，椭球面变换，球面变换，这都可以简化问题的难度从而更好的解决问题，在复变函数中我们可以利用解析函数所构成的变换——共形映射来把复杂的问题简单化
共形映射的概念：
共形映射顾名思义，就是经过映射后能够保留之前图形的特性的映射，那么我们如何来描叙原像经过映射后像保留了原像的特性嘞？伟大的数学家们想出了用保持角度不变和伸缩率的不变性（即像与原像的比例）来刻画“共形”这一精妙绝伦的概念，所谓保角性就是原像中有交与一点A的两条曲线，这两条曲线经过映射后任然交于一点，且两条像曲线过交点的夹角与原像曲线中的夹角一致（注意是一致不是相等，一致包括方向大小一样）那么就称这种映射在A是保角的，所谓伸缩率的不变性就是原像经过映射之后像在某一点的长度与原像在某一点的长度的极限值为一个定值与原像无关。综合以上两种特性就有了共形映射的概念：
如果在的领域内是一一的，在处具有保角性和伸缩率的不变性那么称映射在是共形的如果映射在D的没一点都共形即原像与像的相对位置保持不变，图形的比列保持不变则称在区域D内是共形的。
解析函数与共形映射：
如果函数在解析且那么映射在处是共形状的，如果解析函数的导数处处不为零那么映射在D内是共形映射。
几个初等函数所构成的映射：
幂函数： 此映射在将角形域映射成一个角形域，且在z=0处不保角。
指数函数：吃映射将X=常数直线映射成圆周，将Y=常数映射成射线，将水平带形域映射成角形域
研究复变函数的原本目的在于解决实变函数所解决不了的问题或者是简化实变函数的问题，上面的知识都只是把复变函数的基础体系建立起来，而Fourier变换和Laplace变换才是把实变函数与复变函数联系起来的接口

傅里叶变换与拉普拉斯变换

傅里叶变换

我们曾经在数学分析和高等代数中学过Fourier级数，一个以L为周期的函数,如果在区间上面连续那么在上可以展开成傅里叶级数：

,, ​

由欧拉公式： 将两个式子带入可以导出：

上面研究的是周期函数事实上对于任何一个非周期函数 都可以看成是一个由某个周期函数L的函数当周期时候转化而来的，当时候可以导出一个等式：

称为函数的傅里叶变换， 称为傅里叶逆变换

傅里叶变换的的四个性质：线性性质，位移性质，微分性质，积分性质。

卷积的傅里叶变换：

卷积的定义：设定义在上，若任意的,积分

收敛。则称改积分为函数的卷积记为 ,卷积满足交换律与乘法对加法的分配律

卷积傅里叶定理：

拉普拉斯变换：

如果想要求一个函数的傅里叶变换还需要函数在区间上满足狄氏条件，以及函数在无限区间上绝对可积，但是事实上这个条件很强很多的函数都不满足，因此傅里叶变换的应用范围受到的限制很大，为了然积分变换更具一般性，数学家们就引入了一个新的概念Laplace变换，实际上Laplace变换是一种特殊的傅里叶变换，他只不过是把一个不满足傅里叶条件的函数通过乘上一个衰减因子（使得函数收敛）以及乘上一个跃阶函数（控制收敛区间）来使得函数满足傅里叶变换的条件，然后把经过改造后的函数在实行傅里叶变换于是就得到了Laplace变换的概念：

函数 当时候由定义而且积分在复数s的某一个区域内收敛则此积分所确定的函数记为称为函数的拉普拉斯变换，为拉普拉斯逆变换

利用留数求拉普拉斯的逆变换：

其思想大致为将乘以跃阶函数与衰减函数之后的改造函数进行傅里叶变换逆变换之后就导出式子：

(1)

将的积分区域变成闭曲线积分区域然后将在新的闭曲线积分区域上积分，此时可以将积分分为两部分，一部分为原有的积分区间积分，另一部分为新增的使得积分区间变成闭曲线的积分曲线的积分，然后在证明第二部分当积分区间趋于无穷时候极限为零，再由函数在简单闭曲线上的积分等于其奇点的留数值由此我们可以导出式子：

Laplace变换的性质：

记

线性性质:

​

延迟性质：对有

​

位移性质：

微分性质：

​

​

积分性质：

初值定理:若存在则有

卷积定理和傅里叶变换一致。

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利用Laplace求变系数线性常微分方程的解

用Laplace变换求变系数微分方程

的解

解：对微分方程两边求拉式变换可得

令 ,并且利用微分性质可得

将条件带入可得：

方程整理可得：

可解得：

显然

对方程求拉普拉斯逆变换可得：

求微分方程组：

满足

解： 对方程组两边分别去拉普拉斯变换令并且考虑满足的初始条件，由微分性质可得像函数满足的方程组为：

由此解方程得：

对每一像函数取拉普拉斯逆变换可得：

注：双曲正余弦函数

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