leetcode（300）—— Longest Increasing Subsequence（最长递增子序列）

参考 Python 解法： 动态规划 —— 最长递增子序列（LIS）

原题位置：Longest Increasing Subsequence | LeetCode OJ

题目的说明：

• 严格递增；
• 子序列不要求连续；

解法 1， O(n2)

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
    if (nums.size() == 0) return 0;
        vector<int> dp(nums.size(), 1);
        int res = 1;
        for (int i = 1; i < nums.size(); ++i){
                        // 每次外部循环，确定以当前位置为末尾元素的最长子序列；
            for (int j = 0; j < i; ++j){
                if (nums[j] < nums[i]){
                    dp[i] = max(dp[i], 1+dp[j]);
                                // 通过遍历 j 实现对 dp[i] 的更新
                }
            }
            res = max(res, dp[i]);
        }
        return res;
    }
};

解法2： O(nlogn)

思路是，我们先建立一个数组 ends，把首元素放进去，然后比较之后的元素，

• 如果遍历到的新元素比ends数组中的首元素小的话，替换首元素为此新元素，
• 如果遍历到的新元素比ends数组中的末尾元素还大的话，将此新元素添加到ends数组末尾(注意不覆盖原末尾元素)。
• 如果遍历到的新元素比ends数组首元素大，比尾元素小时，此时用二分查找法找到第一个不小于此新元素的位置，覆盖掉位置的原来的数字，

以此类推直至遍历完整个 nums 数组，此时 ends 数组的长度就是我们要求的 LIS 的长度，特别注意的是 ends 数组的值可能不是一个真实的LIS，比如若输入数组nums为 {4, 2， 4， 5， 3， 7}，那么算完后的ends数组为{2， 3， 5， 7}，可以发现它不是一个原数组的LIS，只是长度相等而已，千万要注意这点。

class Solution(object):
    def lengthOfLIS(self, nums):
        n = len(nums)
        if n == 0: return 0
        ends = [nums[0]]
        for i in range(1, n):
            if nums[i] < ends[0]:
                ends[0] = nums[i]
            elif nums[i] > ends[-1]:
                ends.append(nums[i])
            else:
                lo, hi = 0, len(ends)
                while lo < hi:
                    mi = (lo + hi)//2
                    if nums[i] > ends[mi]: lo = mi + 1
                    else: hi = mi
                ends[hi] = nums[i]
        return len(ends)

解法 3：思路更为清晰的二分查找

跟上面那种方法很类似，思路是先建立一个空的dp数组，然后开始遍历原数组，对于每一个遍历到的数字，我们用二分查找法在dp数组找第一个不小于它的数字，如果这个数字不存在，那么直接在dp数组后面加上遍历到的数字，如果存在，则将这个数字更新为当前遍历到的数字，最后返回dp数字的长度即可，注意的是，跟上面的方法一样，特别注意的是dp数组的值可能不是一个真实的LIS。参见代码如下：

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        vector<int> dp;
        for (int i = 0; i < nums.size(); ++i){

            int lo = 0, hi = dp.size();
            while (lo < hi){
                int mi = (lo + hi)/2;
                if (dp[mi] < nums[i]) lo = mi + 1;
                else hi = mi;
            }
            if (hi == dp.size())
                dp.push_back(nums[i]);
            else dp[hi] = nums[i];
        }
        return dp.size();
    }
};

4. 借助标准库 STL 中的算法实现二分查找部分

lower_bound 返回返回序列中第一个不小于某值的元素位置；

class Solution{
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums){
        vector<int> dp;
        for (int i = 0; i < nums.size(); ++i){
            auto it = lower_bound(dp.begin(), dp.end(), nums[i]);
            if (it == dp.end())
                dp.push_back(nums[i]);
            else
                *it = nums[i];
        }
        return dp.size();
    }
};