0024算法笔记——【贪心算法】单源最短路径问题
1、问题描述
给定带权有向图G =(V,E)，其中每条边的权是非负实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源。现在要计算从源到所有其他各顶点的最短路长度。这里路的长度是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。
2、Dijkstra算法
Dijkstra算法是解单源最短路径问题的贪心算法。
其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其他顶点之间的最短路径长度。
Dijkstra算法可描述如下，其中输入带权有向图是G=(V,E)，V={1,2,…，n}，顶点v是源。c是一个二维数组，c[i][j]表示边(i,j)的权。当(i,j)不属于E时，c[i][j]是一个大数。dist[i]表示当前从源到顶点i的最短特殊路径长度。在Dijkstra算法中做贪心选择时，实际上是考虑当S添加u之后，可能出现一条到顶点的新的特殊路，如果这条新特殊路是先经过老的S到达顶点u,然后从u经过一条边直接到达顶点i，则这种路的最短长度是dist[u]+c[u][i]。如果dist[u]+c[u][i]
(1) 用带权的邻接矩阵c来表示带权有向图, c[i][j]表示弧
(2) 选择vu, 使得dist[u]=Min{dist[i] | vi属于V-S},vj就是长度最短的最短路径的终点。令S=S U {u}.
(3) 修改从v到集合V-S上任一顶点vi的当前最短路径长度:如果 dist[u]+c[u][j]< dist[j] 则修改 dist[j]= dist[u]+c[u][j].
(4) 重复操作(2),(3)共n-1次.
算法具体实现如下：
//4d5 贪心算法 单源最短路径问题
#include "stdafx.h"
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 5;
const int M = 1000;
ifstream fin("4d5.txt");
template
void Dijkstra(int n,int v,Type dist[],int prev[],Type c[][N+1]);
void Traceback(int v,int i,int prev[]);//输出最短路径 v源点，i终点
int main()
{
int v = 1;//源点为1
int dist[N+1],prev[N+1],c[N+1][N+1];
cout<<"有向图权的矩阵为："<>c[i][j];
cout<
void Dijkstra(int n,int v,Type dist[],int prev[],Type c[][N+1])
{
bool s[N+1];
for(int i=1; i<=n; i++)
{
dist[i] = c[v][i];//dist[i]表示当前从源到顶点i的最短特殊路径长度
s[i] = false;
if(dist[i] == M)
{
prev[i] = 0;//记录从源到顶点i的最短路径i的前一个顶点
}
else
{
prev[i] = v;
}
}
dist[v] = 0;
s[v] = true;
for(int i=1; i"< 假设S(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有S(i,j)=S(i,k)+S(k,s)+S(s,j)。而S(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径S'(k,s)，那么S'(i,j)=S(i,k)+S'(k,s)+S(s,j)