边缘检测之LOG算子

摘要

        Marr-Hildreth在1980年的文章中提到了著名的LOG算子，我阅读了原始文献，在此分享下阅读心得，深入理解LOG算子。

       Marr-Hildreth边缘检测算法(也称为LOG算法)的分析过程主要包括两个部分：

 (1)在不同尺度下强度变化(intensity changes)的检测。

 (2)结合对不同通道下零交叉点分割，形成对图像的初始略图描述。

      图像强度变化会出现在不同尺度下的图像中，它能够在某种尺度下被单独检测出来，在给定的尺度下，计算 ∇^2 G(x,y)*I(x,y)的零值，∇^2 G(x,y)二维高斯函数的拉普拉斯式，I(x,y)是表示图像在坐标(x,y)上的灰度，这些零值所在的点就是图像发生强度变化的地方，这种方法被称为零交叉分割。物体表面的不连续性，反射情况，照明边界等等这些都是产生图像中强度变化的因素，这些因素都有一种性质，叫做spatially localized(空间局部化)，正是由于这种性质，从不同通道产生的零交叉分割是不独立的，根据某种准则，可以将这些不同通道下产生的零交叉分割结合起来形成对图像的原始描述。

      通过研究发现，LOG算法具有一定的生理学意义。人的视觉处理初期的目的是为了建立一个原始的图像描述，它包含一些图像信息，比如图像表面的反射和照明情况，物体与观察者的距离和方向情况，这种原始的图像描述叫做primal sketch（初始略图）[Marr 计算视觉理论]。

1、检测图像中的强度变化

      检测图像中的强度变化的一个主要困难是强度变化会发生在不同的尺度范围内。没有单一的滤波器能够同时在所有尺度上检测强度变化都是最优的，因此，需要寻找一种方法来检测不同尺度下的强度变化。根据这种要求，我们需要 做到两点：(a)寻找最优平滑滤波器。(b)在给定尺度下，怎样检测强度变化？

 1.1  最优平滑滤波器

       寻找最优平滑滤波器需要考虑两点：

  (1)平滑图像的目的是为了减少图像中尺度的变化范围。滤波器的频谱需要是光滑的，并且在频域中是带限的，频率变化ΔW应该比较小。

  (2)spatial localization的限制。图像中的强度变化产生原因主要包括：照明情况的变化、观察者距物体的距离和方向变化、物体表面的反射情况的变化。对于这些因素，在它们的尺度上，它们能被看成spatially localized。因为spatially localized的限制，在滤波器中点的分布应该是产生于邻近点的平均，而不是广泛分布点的平均。因此，我们寻找的滤波器应该是在时域中也是光滑和局部性的，空间的变化Δx应该也比较小。

时域和频域的变化都要求比较小这是自相矛盾的，由不确定原理描述就是：ΔW Δx≥1/4 π,可以证明的是，只有唯一的一种分布能最优化时域和频域的矛盾关系，它是高斯分布。

  1.2检测图像的强度变化

     当图像中强度发生变化时，一阶导数会出现一个顶点，相应的，二阶导数会出现零交叉点，因此检测图像中强度变化就变成了寻找图像中二阶导的零交叉点，即求f(x,y)=D^2[G(r)*I(x,y)]的零点，其中，I(x,y)为图像灰度，*为卷积符号，D^2为求二阶导符号。根据卷积性质得，f(x,y)=D^2G*I(x,y)。D^2G是与方向有关的算符。 由于卷积运算计算量比较大，如果寻找一个与方向无关的算子，那么计算量 就会减少很多。那么这个算子是什么呢？在二阶微分算符中，只有Laplacian算符是与方向无关的算符，被卷积后的图像时满足使用Laplacian算子条件的[Marr, theory of edge detection, appendix A],因此可以用 ∇^2 G可以用来检测图像的零交叉点。

2、结合不同通道中的信息形成对图像的描述

      当我们考虑结合不同通道中的信息以形成对图像的描述时，我们还需要哪些额外的信息呢？额外的信息来自spatial localization的限制。spatial localization的意思是说，现实世界中，一些物理现象产生了图像中的强度变化，这些物理现象是spatial localized的。在一个通道中形成的zero-crossing应该是另一个通道在相应空间位置的zero-crossing，如果不是的话，只会有两个原因：(a)两个或更多的强度变化在一个更大尺度下被平均了。 (b)  两个独立的物理现象在不同尺度下，同一图像区域产生了强度变化。我们基于不同通道得到的zero-crossing集的理解是基于一个假设，叫做 spatial coincidence assumption. 简单的说，这个假设的意思是说：在某个独立的通道和连续变化的尺度下，得到的zero-crossing会出现在其他通道中，并且拥有相同位置和方向，而这些zero-crossing就是代表图像的强度变化，而这些强度变化时由单一的物理现象引起的，比如：光照变化，物体表面方向变化，反射情况的变化等。

参考文献：

[1]. Theory of edge detection.Marr-Hildreth.1980.