从快速幂到矩阵快速幂入门

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从快速幂到矩阵快速幂入门

快速幂

假设大家已经快忘记了快速幂这个东西

一般对于$a^b$我们只需要连续乘$b$次$a$就能得到答案了：

例如

• $2^3$只需要连续乘$3$次$2$即可，$2^3=2\ast 2\ast 2$

• $2^{13}$只需要连续乘$13$次$2$即可，$2^{13}=2\ast 2\ast 2\ast 2\ast 2\ast 2\ast 2\ast 2\ast 2\ast 2\ast 2\ast 2\ast 2$

• 如果你觉得还好，那么$2^{100}，2^{1000}...$呢？

回归到问题本身，$a^b$当$b$很大的时候，是很费时间的，直接乘$b$个$a$往往会超时，所以就有了快速幂这个算法。

我们以$b=13$为例，把$b$写成二进制：

$b=13=1101_2=2^3\ast 1+2^2\ast 1+2^1\ast 0+2^0\ast 1$

那么$a^b=a^{2^3\ast 1+2^2\ast 1+2^1\ast 0+2^0\ast 1}=a^{2^3}\ast a^{2^1}\ast a^{2^0}$

通过观察我们不难发现，当$b$的二进制第$i$位上为$1$，就乘上$a^{2^i}$，这个值是可以由前面递乘出来的，所以这样一来大大减少了计算次数：

推广到$a^b:$

①若$b$为偶数，$a^b=(a^{b/2}{)}^2$
②若$b$为奇数，$a^b=(a^{(b-1)/2}{)}^2\ast a$

可以看到幂是指数级别下降的，因此最终复杂度是$O(logn)$而不是朴素算法的$O(n)$。

板子如下：

• $a^b$

int qpow(int a, int b) {
  int ans = 1;
  while (b) {
    if (b & 1) {
      ans *= a;
    }
    a *= a;
    b >>= 1;
  }
  return ans;
}

• $a^b\%c$

int qpow_mod(int a, int b, int c) {
  a = a % c;
  int ans = 1;
  while (b) {
    if (b & 1) {
      ans = ans * a % c;
    }
    a = a * a % c;
    b >>= 1;
  }
  return ans;
}

矩阵快速幂

那么矩阵快速幂又是什么呢？

矩阵快速幂就是把整数变成矩阵用快速幂来算其次方而已，$A^{n-2}$，其中$A=\left\{\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right\}$，像这样的就是矩阵快速幂，那么为啥会有矩阵快速幂这个东西呢？

首先提一下矩阵的前置知识：

相信到这学期，大家已经学过了线性代数相关知识，我就不过多解释：

矩阵的一些名词定义：

• $n$阶矩阵：$\left\{\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right\}$这就是一个$2\ast 2$的矩阵，也叫$2$阶矩阵
• 行向量：只有一行的矩阵，也叫行矩阵，$(a_1,a_2,...,a_n)$这就是一个行向量
• 列向量：只有一列的矩阵，也叫列矩阵，$\left\{\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\\ \dots \\ a_n\end{array}\right\}$，这就是一个列向量。

矩阵的相关运算：

• 矩阵加法：设有两个$m\ast n$的矩阵$A=(a_{ij})，B=(b_{ij})$，那么矩阵$A$与$B$的和记做$A+B$，规定为：$$\mathbf{A}+\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \cdots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& \cdots & a_{2n}+b_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& \cdots & a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right)$$

$A+B$，也就是对应$a_{ij}和b_{ij}$相加重新构成的一个矩阵。

这里要注意的是，只有当两个矩阵是同型矩阵（也就是行数相等列数也相等）时，这两个矩阵才能进行加法运算。

• 矩阵乘法：设有两个$2\ast 3$的矩阵，$$\begin{array}{l}A=\left(\begin{array}{lll}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{ll}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\\ b_{31}& b_{32}\end{array}\right)\\ 那么A\ast B=\left(\begin{array}{ll}{a}_{11}{b}_{11}+a_{12}{b}_{21}+a_{13}{b}_{31}& a_{11}{b}_{12}+a_{12}{b}_{22}+a_{13}{b}_{32}\\ a_{21}{b}_{11}+a_{22}{b}_{21}+a_{23}{b}_{31}& a_{21}{b}_{12}+a_{22}{b}_{22}+a_{23}{b}_{32}\end{array}\right)\end{array}$$

一般，我们设$A=(a_{ij})$是一个$m\ast s$的矩阵，$B=(b_{ij})$是一个$s\ast n$矩阵，那么规定矩阵$A$与矩阵$B$的乘积是一个$m\ast n$的矩阵$C=(c_{ij})$，其中：$$\begin{array}{c}{c}_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{ik}{b}_{ij}={\sum }_{k=1}^s{a}_{ik}{b}_{kj}\\ (i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n)\end{array}$$

并把此乘积记作:$C=AB$，也叫$A$矩阵左乘$B$矩阵，这里可以发现，矩阵的乘法是不满足交换律的，故乘法顺序对矩阵的影响。

也就是矩阵$A$的对应行的每一个乘矩阵$B$的对应列的每一个，然后相加构成的。

我们介绍完了矩阵的知识，那大家一定会问，矩阵快速幂有啥用呢？

我们不妨先回想忆一下斐波拉契数列，$$F(n)=\{\begin{array}{rclc}& F(1)=1& & n=1\\ & F(2)=1& & n=2\\ & F(n-1)+F(n-2)& & n\ge 3\end{array}$$

如果我们要求某一项是要$O(n)$的时间复杂度的，那么我们有没有一种可能降低时间复杂度呢？

答案是显然的，我们可以用上面说到的矩阵加速，我们不妨有这样的设想：

$$\left[\begin{array}{c}F(n-2)\\ F(n-1)\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{c}F(n-1)\\ F(n)\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{c}F(n)\\ F(n+1)\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{c}F(n+1)\\ F(n+2)\end{array}\right]\dots$$

每个矩阵都可以独立的退出其后的所有矩阵，因为矩阵里面包含了所有有用的状态。

所以，我们只需要知道矩阵直接的箭头是什么操作，就可以利用第$1$个矩阵推出之后的所有矩阵。

我们把第一步单独拿出来：

$$\left[\begin{array}{c}F(n-2)\\ F(n-1)\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{c}F(n-1)\\ F(n)\end{array}\right]$$

把$F(n)$拆成$F(n-1)+F(n-2)$：

$$\left[\begin{array}{c}F(n-2)\\ F(n-1)\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{c}F(n-1)\\ F(n-1)+F(n-2)\end{array}\right]$$

然后稍微补充一下，构造完整的矩阵：

$$\left[\begin{array}{l}F(n-2)\\ F(n-1)\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{l}F(n-1)\times 1+F(n-2)\times 0\\ F(n-1)\times 1+F(n-2)\times 1\end{array}\right]$$

第二个矩阵的形式我们是不是有点似曾相识…没错，这就是矩阵乘法：

$$\left[\begin{array}{ll}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{l}F(n-2)\\ F(n-1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}F(n-2)\times 0+F(n-1)\times 1\\ F(n-2)\times 1+F(n-1)\times 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}F(n-1)\\ F(n)\end{array}\right]$$

所有，上面那个递推过程中的箭头操作就是矩阵乘法操作，想到这里大家是不是释然了？

$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{ll}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}F(n-2)\\ F(n-1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}F(n-1)\\ F(n)\end{array}\right]\\ & \left[\begin{array}{ll}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}F(n-1)\\ F(n)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}F(n)\\ F(n+1)\end{array}\right]\\ & \left[\begin{array}{ll}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}F(n)\\ F(n+1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}F(n+1)\\ F(n+2)\end{array}\right]\end{array}$$

​ …

所以：$$\left[\begin{array}{c}F(n-1)\\ F(n)\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ll}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right]}^{n-2}\times \left[\begin{array}{c}F(1)\\ F(2)\end{array}\right]$$

${\left[\begin{array}{ll}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right]}^{n-2}$显然：矩阵快速幂！！！

只需要将上面的整数快速幂代码改成矩阵的即可了，详见代码：

以POJ3070为例：

$$\left[\begin{array}{cc}{F}_{n+1}& F_n\\ F_n& F_{n-1}\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ll}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^n$$

#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod = 10000;
const int N = 110;
int n = 2;
struct mat {
  int m[N][N];
} Mat;

mat operator*(mat a, mat b) {
  mat ret;
  LL x;
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    for (int j = 0; j < n; j++) {
      x = 0;
      for (int k = 0; k < n; k++) {
        x = (x + a.m[i][k] * b.m[k][j]) % mod;
      }
      ret.m[i][j] = x % mod;
    }
  }
  return ret;
}

void init_Mat() {
  for (int i = 0; i < N; i++) {
    Mat.m[i][i] = 1;
  }
}

mat pow_mat(mat a, LL n) {
  mat ret = Mat;
  while (n) {
    if (n & 1) {
      ret = ret * a;
    }
    a = a * a;
    n >>= 1;
  }
  return ret;
}

int main() {
  LL p;
  init_Mat();
  while (cin >> p && p != -1) {
    mat a;
    a.m[0][0] = 1;
    a.m[0][1] = 1;
    a.m[1][0] = 1;
    a.m[1][1] = 0;
    a = pow_mat(a, p);
    cout << a.m[0][1] << endl;
  }
  return 0;
}

矩阵快速幂，简而言之就是利用矩阵加速数列递推，其中最难的也就是怎么推矩阵了，大家可以试一下下面几个例子哦：

• $$F(n)=F(n-1)+F(n-2)+1$$
• $$F(n)=F(n-1)+F(n-3)$$
• $$F(n)=F(n-1)+F(n-3)+F(n-4)$$
• $$F_n=a\times F_{n-1}+b\times F_{n-2}$$