面试中的概率问题 - 数学期望（2） - 武器升级需要的宝石数

问题描述：

这个笔试题来自今年的知名游戏公司，因为签了保密协定，为了避免麻烦，自行改编一下。

 

在一款游戏中，武器等级可以分为0-7级，武器每次升级需要一块宝石，每次升级可能出现三种情况：升一级、保持不变、降一级。

 

已知i->i+1升一级概率为Ai，保持不变概率为Bi，降一级概率为Ci。

A0～A7，B0～B7，C0～C7均已知，其中从等级0到等级1必定成功，即A0=1，B0=0，C0=0

 

现在问你将武器从0级升级到3级需要的宝石数的期望？

 

如果大家在看这篇博文之前，没有阅读我之前的博文：面试题中的概率问题-数学期望(1)，请大家先去看看，主要关注【数学期望中的递归特性】

 

分析过程：

设f(x,y)表示从x升级到y的宝石数期望，则：

f(0,3)  =  1 + f(1,3)

f(1,3)  =  A1*(1+f(2,3)) + B1*(1+f(1,3)) + C1*(1+f(0,3))

f(2,3) =  A2*1 + B2*(1+f(2,3)) + C2*(1+f(1,3))

很明显，这是一个三元一次方程组，必定可以计算出f(0,3)，f(1,3)，f(2,3)

其中f(0,3)为最终的答案

 

其实，这个思想并不难，关键是有没有想到，下面做简单分析

• f(0,3)用一块宝石升级到1级后，继续的期望是f(1,3) =>  f(0,3) = 1 +f(1,3)
• f(x,y)用一块宝石升级一次后，有Ax的概率升一级，之后期望为f(x+1,y)，这部分为Ax*(1+f(x+1,y))，之后部分类似分析，即可得到 f(x,y) = Ax*(1+f(x+1,y)) + Bx*(1+f(x,y)) + Cx*(1+f(x-1,y))，关于x与y的大小，还有一些边界就自己去考虑吧
• f(x,x)为0

 

最终答案：

如果我们令[A0,B0,C0] = [1,0,0] ，[A1,B1,C1] = [1/3,1/3,1/3]，[A2,B2,C2] = [1/9,4/9,4/9] ，那么f(0,3) = 30  f(1,3) = 29   f(2,3) = 25

 

注意，根据我们上面简单分析中的第二条f(x,y)的计算，其实可以解决升级到任意等级的需要的宝石数，包括将最高等级扩展到N，只要有对应的[Ai,Bi,Ci]，因为实际上最后问题都是一个方程组，可以编程来解决，参考矩阵的相关知识，见数值计算。