数据结构5——圆方树

我们知道很多树上的算法，但是在图上却难以实现，这个时候是不是就会想把图变成树呢？
这里介绍一个把无向图转化成树的方法，就是 圆方树。

1. 建树原理

（Tips : 若无需“导读”可以直接往下翻至1.4节）

1.1 缩点

我们不妨先回顾一下，我们有什么方法把一张任意的有向图变成有向无环图（DAG）的？
比较熟悉的方法就是tarjan缩点。
所以我们对于无向图，我们也先缩点——把点双连通分量缩在一起。
特别注意，我们要把只有一条边，只连接$2$个点的“伪点双”也要算进去。

1.2 建点

即使把点双缩起来了，我们得到的依然是一张无向图——那怎么把它统领成树呢？很容易想到就是对于这个缩好之后的点新建一个点，我们称之为方点。
那么对应的缩点前原图的点就称之为圆点。

1.3 重建

这时图就显得很杂乱了，为了保证这个树建出来有用，我们需要整理一下，具体方案如下：

1. 拆掉每个点双内部的所有边。
2. 将这个点双对应的方点向这个点双内的每一个圆点连一条边。

1.4 总结

简而言之，记原图点为圆点，建立圆方树就是找出每一个点双，然后建一个对应这个点双的方点，方点连向每一个点双内的圆点，删去每个点双内部圆点原有的连边。这样每一个点双就成为了一个树的形态，这样所有的都连起来也就是一颗树了。
（这里特别解释一下怎么“全部连起来”。实际上并不需要额外的操作。就是因为我们把只有$2$个点$1$条边的也算进去，因此相邻点双之间都会有公共点。然后两个点双就会是以“方点 ${}_1\to$ 公共点 $\to$ 方点 ${}_2$ ”的顺序自然连接。）

2. 性质

这个圆方树肯定有一些特别的性质嘛，不然要了干什么……

1. 对于任意无向图$G=\{V,E\}$均满足建出来的是森林；
2. 对于任意连通无向图$G$均满足建出来的是一颗无根树；
3. 对于每一个圆点，都对应着有且仅有一个方点；
4. 对于任意一条路径，路径上的圆点和方点都是相间出现，或者说同种形状的点不相邻。
5. 原图的割点是圆方树中度数$>1$的圆点。

这些性质都是很显然的，无需过多证明。第$4$个性质是之前多次强调的$2$个点$1$条边的特殊点双保证的。

3. 实现

以上为理论部分，实现上还有一些细节需要注意的。

1. 点权$w_i$，一般在题目中我们会给每一个点赋予一个点权，然后根据圆方树的性质，操作这些点权。
2. 子树大小$s{z}_i$。成为树以后，就有了子树的概念，这样我们需要加入一个表示子树大小的量方便计算。当然，$s{z}_i$和$w_i$也不是必需的，视题目而定。
3. 上文中曾经提到，相邻点双之间存在公共点，那么维护的时候岂不是会重复？为了解决这种情况，我们一般不维护点双中$dfs$序最小的点，方点中只维护剩下的点。（如果你把图画出来之后，指定一个节点为根，你就会发现实际上$dfn$最小的圆点是方点的父亲……这样你就理解为什么不用在方点中维护那个点了。最后那个点单独处理即可）。然后我们修改后的tarjan求点双+维护圆方树代码如下：

void dfs(int u,int fa){//tarjan
	dfn[u]=low[u]=++ind;
	w[u]=-1;sz[u]=1;
	q.push(u);
	for(edge *i=head[u];i!=NULL;i=i->nxt)
		if(i->v!=fa){
			int v=i->v;
			if(!dfn[v]){
				dfs(v,u);
				low[u]=min(low[u],low[v]);
				if(low[v]>=dfn[u]){
					w[++col]=1;
					int k;
					do{
						k=q.top();q.pop();
						c[col].push_back(k);
						sz[col]+=sz[k];
						w[col]++;
					}while(k!=v);
					sz[u]+=sz[col];
					c[u].push_back(col);
				}
			}
			else
				low[u]=min(low[u],dfn[v]);
		}
}

其中vectorc[]存的是每个点的子节点（包括圆点和方点），$col$存的是点双的编号。方便起见，我们从$n+1$开始计算，这样就不会和圆点产生混淆，又可以统一地维护（即初始时col=n）。

4. 例题

讲了这么多，我们再来看一看例题——[APIO2018] Duathlon 铁人两项.

Solution

先变成圆方树，然后尝试赋点权。
我们发现，如果说把圆点点权赋为$-1$，方点为点双大小，那么就转化成（圆方树上）统计所有路径上的点权和。
然后令$cn{t}_i$表示每个点可以被多少条路径覆盖，答案
$$ans=\sum _i^n{w}_i\times cn{t}_i$$
然后$dfs+dp$即可。代码如下：

#include
#include
#include
#include
using std::vector;
using std::stack;
const int MAXN=200010;

struct edge{
	int v;
	edge *nxt;
	edge(){
		v=0;
		nxt=NULL;
	}
}*head[MAXN];
void adde(int u,int v){
	edge *p=new edge;
	p->v=v;
	p->nxt=head[u];
	head[u]=p;
}

vector<int>c[MAXN];
stack<int>q;

int n,m;
int dfn[MAXN],low[MAXN],ind=0;
int sz[MAXN],w[MAXN],col=0;

inline int min(int x,int y){
	return x<y?x:y;
}
inline int max(int x,int y){
	return x>y?x:y;
}
void dfs(int u,int fa){
	dfn[u]=low[u]=++ind;
	w[u]=-1;sz[u]=1;
	q.push(u);
	for(edge *i=head[u];i!=NULL;i=i->nxt)
		if(i->v!=fa){
			int v=i->v;
			if(!dfn[v]){
				dfs(v,u);
				low[u]=min(low[u],low[v]);
				if(low[v]>=dfn[u]){
					w[++col]=1;
					int k;
					do{
						k=q.top();q.pop();
						c[col].push_back(k);
						sz[col]+=sz[k];
						w[col]++;
					}while(k!=v);
					sz[u]+=sz[col];
					c[u].push_back(col);
				}
			}
			else
				low[u]=min(low[u],dfn[v]);
		}
}

long long ans=0,sum=0;
void treedp(int u){
	int tmp=(u<=n);
	for(int i=0;i<c[u].size();i++){
		int v=c[u][i];treedp(v);
		ans+=tmp*(long long)sz[v]*w[u];
		tmp+=sz[v];
	}
	ans+=sz[u]*(long long)(sum-sz[u])*w[u];//roate
}

int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);col=n;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);
		adde(u,v);adde(v,u);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!dfn[i]){
			dfs(i,0);
			sum=sz[i];
			treedp(i);
		}
	printf("%lld\n",ans<<1);
	return 0;
}

5. 总结

图论新技能：圆方树实现图转树。
注意细节吧。