数据结构与算法(Python版)五十四：AVL树的定义和性能

平衡二叉查找树： AVL树的定义

我们来看看能够在key插入时一直保持平衡的二叉查找树： AVL树

AVL是发明者的名字缩写： G.M. AdelsonVelskii and E.M. Landis

利用AVL树实现ADT Map， 基本上与BST的实现相同

不同之处仅在于二叉树的生成与维护过程

AVL树的实现中， 需要对每个节点跟踪“平衡因子balance factor”参数

平衡因子是根据节点的左右子树的高度来定义的， 确切地说， 是左右子树高度差：

balanceFactor = height(leftSubTree) − height(rightSubTree)
如果平衡因子大于0，称为“左重left-heavy”，小于零称为“右重right-heavy”，平衡因子等于0，则称作平衡。

平衡二叉查找树：平衡因子

如果一个二叉查找树中每个节点的平衡因子都在-1， 0， 1之间， 则把这个二叉搜索树称为平衡树

平衡二叉查找树： AVL树的定义

在平衡树操作过程中， 有节点的平衡因子超出此范围， 则需要一个重新平衡的过程

要保持BST的性质！

先来看看AVL树的性能

我们来分析AVL树最差情形下的性能：即平衡因子为1或者-1

下图列出平衡因子为1的“左重”AVL树，树的高度从1开始，来看看问题规模（总节点数N）和比对次数（树的高度h）之间的关系如何？

观察上图h=1～ 4时， 总节点数N的变化

• h= 1, N= 1
• h= 2, N= 2= 1+ 1
• h= 3, N= 4= 1+ 1+ 2
• h= 4, N= 7= 1+ 2+ 4

观察这个通式， 很接近斐波那契数列！

定义斐波那契数列Fi

利用Fi重写Nh

斐波那契数列的性质： Fi/Fi-1趋向于黄金分割Φ

可以写出Fi的通式

将Fi通式代入到Nh中， 得到Nh的通式

上述通式只有N和h了， 我们解出h

最多搜索次数h和规模N的关系， 可以说AVL树的搜索时间复杂度为O(log n)