学习笔记：并查集

并查集

这是一个可以实现合并与查找（元素间关系判定）用来维护多集合（功能多样化）的超牛批的可以动态维护的树形结构。

个人理解：

这个算法只要是实现集合元素关系的类型都可以用到，又是线性时间复杂度，而且最关键的是它是个高级数据结构，翻译过来就是这个可以动态维护，所以我觉得这个用途比单纯的算法要好，实际应用比较大，而且这个方法可能不是唯一的，但是用这个方法可以做很多题，比如二分图中用到动态维护就只能用这个方法，但是这个方法也有不可替代性，不如线段树经常可以被其他数据结构替代，所以必须注意，可能有奇效。

注意：这是一个需要思考的代码，边写边思考，因为这是个非常灵活的数据结构

基本操作与代码实现

int pa[maxn];
void Initial(int x)//初始化 
{
    for(int i=1;i<=n;i++)pa[i]=i;
}
int find(int x)//路径压缩，还有一种优化是启发式合并，一起用效果更好，但是不加时间复杂度也很小 
{
    return pa[x]==x?x:pa[x]=find(pa[x]);
}
bool judge(int x,int y)
{
    return find(x)==find(y);
}

void merge(int x,int y)//这里是为了后面的带权并查集 
{
    int px=find(x),py=find(y);
    if(x!=y)
        pa[px]=py
}

注意：初始化容易写掉，但是很容易检查出来

理解：
1. Mr.He为了突出这个数据结构的简单性非要写成一排，我表示我可以把整个程序写成两排(^~^)
2. 这里的时间复杂度可以看做线性的，因为有路径压缩，时间复杂度是个”反阿克曼函数”，一般来说这个值小于4，因此可以当做是线性的。
3. 基于这四种操作可以延伸多种操作

启发式合并

不用路径压缩，启发式合并是一种可以还原的并查集。

它的原理就是记录下每个并查集的高度（元素个数也可以），然后让合并的高度尽量低。

它的时间复杂度是O(nlogn)的。

需要还原的话就在修改的时候记录下连接的两个点的原信息存入栈中，然后把栈中的信息一次还原。

“带权并查集”

• 给结点之间增加相对关系，一般来说所有的函数都要发生改变
• 在判定和连边以及查找的时候，可以使用”四点向量分析法”（find的时候只有两点/三点）
• 就是利用相对关系进行连边，分别是x,y,px,py,分别利用

“种类并查集”

• 把元素分为若干种
• 比较经典的就是二分图，分析方式和带权并查集很像，可能会用到异或。

例题与技巧

技巧

1. 假删除：一个结点被删除之后建立新的结点，把该结点通过一个数组映射到新的结点上去，之后所有的操作都在新结点上进行。
2. 用左闭右开的方法或者左开右闭，要考虑到pa数组清零要多一位。

大步跳跃法

那么本质我们应该归结到并查集，最右边的元素是pa，还可以加路径压缩，算是一种很活的用法了，代码也不难，很基础，甚至是不全的并查集。

同时，以后用大步跳跃就用并查集的方法，加上路径压缩，那么就可以当做线性时间复杂度了
注意：这里如果不是为了像广告印刷那种后续处理需要，不需要用左闭右开，不影响结果，只是注意有些地方要处理