Side Transmutations(组合数学+快速幂)

原题:
Side Transmutations(组合数学+快速幂)_第1张图片
题目不短,但是容易理解。
最后题目要统计的是“不相等”的字符串个数,是一道组合计数的题目,显然需要我们把各个部分的情形数乘起来得到答案。

最容易算的部分是剪掉两端各b[m]后留下的不能被翻转的“中间”部分,每个字符都有 ∣ A ∣ \left | A \right | A种可能,故共有 ∣ A ∣ n − 2 ∗ b m \left | A \right |^{n-2*b_{m}} An2bm种情形

两边可翻转的部分没办法一眼看出计算方法,我们可以从简单的m=1入手思考
设翻转的字符数为r,则一段长度为r的序列共有 S = ∣ A ∣ r S=\left | A \right |^r S=Ar种可能
我们把左边要翻转的串叫做L,右边叫做R
情形一:R翻转后=L,这种情况恰有S种
情形二:R翻转后≠L,那么翻转前后视为同一个串,这种情况有 C S 2 C_{S}^{2} CS2
故一共有 C S 2 + S = S ( S + 1 ) 2 C_{S}^{2}+S=\frac{S(S+1)}{2} CS2+S=2S(S+1)种情形

再对m进行推广,注意到 b i + 1 b_{i+1} bi+1的翻转对于 b i b_i bi内的情形数不产生影响,因此只需要计算 b i + 1 b_i+1 bi+1 b i + 1 b_{i+1} bi+1的情形数就行了(即 r = b i + 1 − b i r=b_{i+1}-b_i r=bi+1bi时的情形数)

最后审视全部计算过程,发现只需要快速幂就足够完成计算了,时间复杂度 O ( m l o g n ) O(m logn) O(mlogn)

代码:

#include 
typedef long long ll;
using namespace std;
const ll PP=998244353;
const int MAXN=2e5+10;
int n,m,A,i,b[MAXN];
ll ans,t,p,x,f[10000];

ll ex(ll x,int y) //calc x*(A^y) 
{
	ll i=0;
	while (y)
	{
		if (y&1) x=(x*f[i])%PP;
		y=y>>1;
		i++;
	}
	return x;
}	

int main()
{
	cin>>n>>m>>A;
	for (i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&b[i]);
	A=A%PP;
	f[0]=A%PP;b[0]=0;
	for (i=1;i<=100;i++) f[i]=(f[i-1]*f[i-1])%PP;
	ans=1;t=1;
	for (i=1;i<=m;i++)
	{
		t=ex(1,b[i]-b[i-1]);
		t=(t*(t+1)/2)%PP;
		ans=(ans*t)%PP;
	}
	ans=ex(ans,n-2*b[m]);
	cout<<ans;
	return 0;
}

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