洛谷2509 [POI2010]ZAB-Frog 题解（倍增，单调队列，思维，好题）

原题链接：luogu

题意简述：

（蒯来的）

数轴上有n个点，有一个青蛙在这些点上跳；规则是每次向距当前点第k小的点跳，如果有相同距离则向下标较小的跳；求从每个点出发跳了m次后在哪里；

思路

这个是我集训某天的原题。像这种第$k$大的问题通常是最难处理的问题。但是我们非常明显的有一个暴力想法：由于$k$是定值，预处理出每个点开始第$k$大到哪，然后暴力跳一下即珂。$O(n^2+nm)$？？？

珂是我真的就是一个智障$woc$，都想到这里了，再结合昨天讲倍增，不好好想想倍增做法！$f\ast \ast k$！（我太菜了。。。）
倍增做法：设$jump[i][k]$表示从$i$开始跳$2^k$步能到哪里，然后你就只要$jump[i][k]=jump[jump[i][k-1]][k-1]$转移，然后二进制拆分$m$跳一下即珂。

但是我们还面临一个问题：求第$k$大这件事，是$O(n)$的（$STL$函数$nth\_element$珂以$O(n)$做这个东西，而不是排序的$nlogn$）。一次$O(n)$，一共就$O(n^2)$，稳$T$。

观察标签，我们猜这个东西用单调队列优化。其实不用单调队列，用双指针即珂，只不过用了单调队列的思想。设$l,r$表示点$i$到左边，右边的第$k$大。初始值$l=1,r=k+1$。然后当我们的中心点$i$增加时，左边的所有距离都增加了，所以$l$会增加。右边的所有距离都减少了，同时，$r$也是会增加的。然后我们就不断的让$l,r$增加，直到满足条件为止（注意$l<=i,r<=n$）由于单调性，$l,r$虽然一次珂能动很多次，但是加起来肯定是$<=n$的。这样就保证了时间复杂度。

代码：

#include
using namespace std;
namespace Flandle_Scarlet
{
    #define N 1001000
    #define ll long long
    ll n,k,m;
    ll p[N];
    void Input()
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&k,&m);
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            scanf("%lld",&p[i]);
        }
    }

    int jump[N][64];
    void Soviet()
    {
        int l=1,r=k+1;
        jump[1][0]=k+1;//处理出jump[1][0]（非常明显就是k+1）
        for(int i=2;i<=n;++i)
        {
            while(r<i) ++l,++r;
            while(l<i and r<n)//说好的单调队列，实际上只要双指针模拟一下即珂
            //然后队列。。。就神奇的没了。。。
            {
                if (p[r+1]-p[i]<p[i]-p[l])//不满足条件
                {
                    ++l,++r;
                }
                else break;
            }
            if (p[i]-p[l]>=p[r]-p[i]) jump[i][0]=l;//如果相同的时候也是取左边的，所以注意这里是严格的<=，不能换
            else jump[i][0]=r;
        }
        for(int i=1;i<=62;++i)
        {
            for(int j=1;j<=n;++j)
            {
                jump[j][i]=jump[jump[j][i-1]][i-1];
                //转移
            }
        }
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            int u=i;
            for(int j=0;j<=62;++j)
            {
                if ((m>>j)&1)//数位拆分+倍增
                {
                    u=jump[u][j];
                }
            }
            printf("%d ",u);
        }putchar('\n');
    }
    void IsMyWife()
    {
        if (0)
        {
            freopen("","r",stdin);
            freopen("","w",stdout);
        }
        Input();
        Soviet();
    }
};
int main()
{
    Flandle_Scarlet::IsMyWife();
    return 0;
}

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