浅谈Fleury(佛罗莱)算法 欧拉回路（及路径）

首先复习一下欧拉回路（及路径）的几个基础概念与定理

---

First

欧拉回路：是指所有的边都只经过一次且仅一次，并且要走回到出发点的一条路径
欧拉路径：表示一条不需要回到出发点，但是必须经过所有的边且都只经过一次的路径

Second

无向图存在欧拉回路的充要条件是所有的点的度数均为偶数
无向图存在欧拉路径的充要条件是度数为奇数的点的数量为 0 个或者 2 个

有向图存在欧拉回路的充要条件是所有的点的出度均等于入度
有向图存在欧拉路径的充要条件是：
①：欧拉回路的情况
②：所有点中出度比入度大 1 的点有一个，入度比出度大 1 的点有一个，不允许有大几个的情况

Third

定理：多笔画问题：如果一个无向图中有 2∗k 个奇数出度的顶点，则至少需要 k 笔画才能把其走完
证明：每次只能把两个奇数出度的顶点走完，因此对云 2∗k 个奇数出度的顶点至少需要k笔画

---

Fleury 算法用于解决欧拉回路的具体输出路径问题，在算法开始之前，我们先用一个 dfs 来判断这个图是否是一个联通块，然后再判断这个图中有奇数出度的点是否只有 0 个或者 2 个，如果是 0 个，则存在欧拉回路，如果是两个，则存在欧拉路径，对于欧拉回路，我们任意选择一个点作为 dfs 的第一个点，对于欧拉路径，我们选取两个奇数出度的点中之一来作为 dfs 的第一个点

我们在求取的时候，用栈这种数据结构

举个例子

比如说这个图，显然奇数出度的点为 1 和 2 ，于是我们选择一个点，比如说选择 1 ，那么我们在dfs的过程中，按照dfs的顺序把点的编号放进栈中，比如我们的访问次序是12432，则把12432放入栈中，每经过一条边，就把这条边的正向边反向边打上标记表示这条路已经走过了，由于之前我们已经判过欧拉回路存在的充要条件了，所以请对这张图保持信心，一定是可以找到欧拉回路的，于是我们的算法流程就是：
先把1放到栈中，然后把1-2的边的正向边反向边打上标记，表示已经走过了，然后再把2放到栈中，然后走2-4，打标记，4入栈，走4-3，打标记，3入栈，走3-2，打标机，2入栈，然后我们去走2的时候发现2已经无路可走了，她能走的所有边已经被打上了标记，也就是说这个点已经没有办法出去了，那么什么样的点进去了出不来呢？显然就是我们的奇数出度的点，于是我们在这里把栈顶输出，然后pop出去，然后回溯，每回溯到一个点都判断这个点是否还能走其他边，如果不能走的话，我们就输出这个点，然后再回溯，一直到一个点有其他边可以走，我们就把这个pop，但是不输出，然后再重新从这个点开始dfs

比如说这幅图中，我们在dfs了2及右边之后，左边的1由于还有边可以走，于是不输出，从1再开始dfs，最后输出的序列就是2 , 4 , 3，2，1，5 , 6 , 1

代码实现：

void dfs( int u ) {
    sta.push(u);
    for( register int i = head[u]; i; i = line[i].nxt ) {
        if( vis[i] ) continue;
        vis[i] = vis[ i ^ 1 ] = true;
        dfs( line[i].to );
        break;
    }
}

void fleury( int st ) {
    sta.push(st);
    while(!sta.empty() ) {
        int flag = 0, u = sta.top(); sta.pop();
        for( register int i = head[u]; i; i = line[i].nxt) {
            if( vis[i] ) continue;
            flag = 1; break;
        }
        if( !flag ) printf( "%d\n", u );
        else        dfs(u);
    }
}