CRC并行运算原理分析，公式推导及MATLAB实现，并行CRC Verilog代码生成

1. 本文参考了博客：https://blog.csdn.net/qq_16923717/article/details/83826856，但是对文章里面的推导和MATLAB实现有点看不太懂+ +，但是这篇博客确实很容易让人理解，这里是对此博客的补充。根据博客的内容下载了论文:Parallel_CRC_Realization，本文的公式均来自本篇文章，下载网址见下。http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download;jsessionid=D55EB495178455E2B887E1157ABD951A?doi=10.1.1.75.387&rep=rep1&type=pdf
2. 因为博客里面关于F矩阵的来源已经很详细了，所以本文直接从F矩阵开始。图1是F矩阵的一般形式，主要分为三部分：①、第一列与CRC多项式对应，因为最高项在每次计算CRC的时候都会被省去，所以在使用矩阵表示多项式时，不考虑最高项（如图中所示x^8+x^2+x^1+1对应的应是1 0000 0111，去掉最高位即是0000 01111，参考网址：https://blog.csdn.net/jingling122/article/details/80116568，原因可见图4中画红线部分，图片来自此博客）。②、F矩阵的右上是一个m-1阶的单位矩阵。③、最下面一行除了第一个元素均补零。图2和图3是8阶F矩阵，以及求出的F^8推导8位并行表达式。
3. 使用代码生成器生成的并行CRC8 Verilog代码。网址：https://www.easics.com/webtools/crctool。查看代码除了数据Data，还有CRC的初始值crc，以及最后的返回值newcrc。

   //   * polynomial: x^8 + x^2 + x^1 + 1
   //   * data width: 8
   // convention: the first serial bit is D[7]
   module CRC8_D8;
   
     function [7:0] nextCRC8_D8;
   
       input [7:0] Data;
       input [7:0] crc;
       reg [7:0] d;
       reg [7:0] c;
       reg [7:0] newcrc;
     begin
       d = Data;
       c = crc;
   
       newcrc[0] = d[7] ^ d[6] ^ d[0] ^ c[0] ^ c[6] ^ c[7];%低位，对应F^8矩阵第一列数据的最后一个
       newcrc[1] = d[6] ^ d[1] ^ d[0] ^ c[0] ^ c[1] ^ c[6];
       newcrc[2] = d[6] ^ d[2] ^ d[1] ^ d[0] ^ c[0] ^ c[1] ^ c[2] ^ c[6];
       newcrc[3] = d[7] ^ d[3] ^ d[2] ^ d[1] ^ c[1] ^ c[2] ^ c[3] ^ c[7];
       newcrc[4] = d[4] ^ d[3] ^ d[2] ^ c[2] ^ c[3] ^ c[4];
       newcrc[5] = d[5] ^ d[4] ^ d[3] ^ c[3] ^ c[4] ^ c[5];
       newcrc[6] = d[6] ^ d[5] ^ d[4] ^ c[4] ^ c[5] ^ c[6];
       newcrc[7] = d[7] ^ d[6] ^ d[5] ^ c[5] ^ c[6] ^ c[7];%高位，对应F^8矩阵第一列数据的第一个
       nextCRC8_D8 = newcrc;
     end
     endfunction
   endmodule
   

4. 是因为这里考虑了初始CRC不为零的情况，因为在多字节计算时，需要异或上一字节计算的校验和。论文中的推导因为不涉及这里，默认CRC的初始值为0。在添加CRC的初始值的计算过程是：Data^CRC_Init，再进行并行CRC计算。原理如图5。最后的结果与代码生成器里面的公式是一样的（根据异或交换律调换位置即可）。图5的计算过程不是单纯的矩阵相乘，如果是单纯的矩阵相乘，得到应该是图6。然后将第一行所有的数据进行异或，以第一列数据为例，D7^C7^D6^C6^D5^C5^0^0^0^0^0，因为^0还是原数据，所以化简为D7^C7^D6^C6^D5^C5。（问题：如果是进行并行CRC计算，再^CRC_Init，理论上是一致的结果，这一块没有理解到了）。 
5. 对于求width=8，求其F^8矩阵的MATLAB代码如下，MATLAB求（异或、与）的函数分别为xor、and。对于其他位宽n的代码，对应修改F矩阵的阶数为n，第一列数据为去掉最高位后的数据。

   %构建F矩阵，8位输入，多项式:x^8 + x^2 + x^1 + 1,求F^8
   %Ploy为1 0000 0111，去掉最高位，为0000 0111对应第一列数据
   F=[0 1 0 0 0 0 0 0; 
      0 0 1 0 0 0 0 0;
      0 0 0 1 0 0 0 0;
      0 0 0 0 1 0 0 0;
      0 0 0 0 0 1 0 0;
      1 0 0 0 0 0 1 0;
      1 0 0 0 0 0 0 1;
      1 0 0 0 0 0 0 0];
   F8=mod(F^8,2);%求F^8矩阵，mod函数对2求余，原理暂时不明
   disp(F8);%在命令行窗口打印矩阵

6. 公式推导：具体公式推导可以查看上文链接中的博客以及论文，《CRC查询表及其并行矩阵生成方法》这篇论文。链接：https://pan.baidu.com/s/1PL6DGn2T6Xy3Wmbp7HQglA提取码kgyb
   
7. 下图求位宽为4的并行CRC求得的表达式矩阵，对应的MATLAB代码和运算结果和论文保持一致。

   %构建F矩阵，4位输入，多项式:x^4 + x^3 + 1,求F^4
   %Ploy为1 1001，去掉最高位，为1001对应第一列数据
   F=[1 1 0 0; 
      0 0 1 0;
      0 0 0 1;
      1 0 0 0];
   F4=mod(F^4,2);%求F^4矩阵，mod函数对2求余，原理暂时不明
   disp(F);%在命令行窗口打印矩阵
   disp(F4);%在命令行窗口打印矩阵