codeforces 717A

题目大意

给定 l,r,k ，求出：

∑i=lr(fi+2k)

f(n)=n,n≤1
f(n)=f(n−1)+f(n−2),n>1

数据范围

k≤500 , 0≤l≤r≤1018

题解

因为 (xk)=x!k!(x−k)! ，因此 (xk) 可以写成一个 k 次的多项式，再前缀和减一下，问题变成要求：

∑i=0rfki

令 a=1+5√2,b=1−5√2 ，我们知道：
fn=5√5(an−bn) ，因此有：

===∑i=0rfki∑i=0r(5√5(ai−bi))k(5√5)k∑i=0r∑j=0k(kj)aij(−b)i(k−j)(5√5)k∑j=0k(−1)k−j(kj)∑i=0n(ajbk−j)i

我们现在将每个数表示成 x=a+b5√ 的形式，我们可以很轻松的定义这些数的加减乘运算，那么最后我们相当于枚举 j ，求出 x=ajbk−j ，然后倍增地求出 ∑ni=0xi ，最后乘上 (5√5)k 即可。
因为每个 fi 都是整数，因此最终求出来的数 x 的 b 必然为0，直接返回实数部分就好了。
时间复杂度：
O(k2logr)