Python 解方程的三种方法

Python 解方程的三种方法

（感谢前辈）转自：https://zhuanlan.zhihu.com/p/24893371

手抄一遍，加深印象。

评价：快速入门篇

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Numpy 求解线性方程组

例如我们要解一个这样的二元一次方程组：

x + 2y = 3
4x ＋ 5y = 6

当然我们可以手动写出解析解，然后写一个函数来求解，这实际上只是用 Python 来单纯做“数值计算”. 但实际上，numpy.linalg.solve 可以直接求解线性方程组.

一般地，我们设解线性方程组形如 Ax=b，其中 A 是系数矩阵，b 是一维(n 维也可以，这个下面会提到)，x 是未知变量. 再拿上面地最简单的二元一次方程组为例，我们用 numpy.linalg.solve 可以这样写：

In [1]: import numpy as np
   ...: A = np.mat('1,2; 4,5')    # 构造系数矩阵 A
   ...: b = np.mat('3,6').T       # 构造转置矩阵 b （这里必须为列向量）
   ...: r = np.linalg.solve(A,b)  # 调用 solve 函数求解
   ...: print r
   ...:
Out[1]: [[-1.]
         [ 2.]]

那么前面提到的“ n 维”情形是什么呢？实际上就是同时求解多组形式相同的二元一次方程组，例如我们想同时求解这样两组：

x + 2y = 3
4x ＋ 5y = 6
和

x + 2y = 7
4x ＋ 5y = 8

就可以这样写：

In [2]: import numpy as np
   ...: A = np.mat('1,2; 4,5')          # 构造系数矩阵 A
   ...: b = np.array([[3,6], [7,8]]).T  # 构造转置矩阵 b （这里必须为列向量），
   ...: 注意这里用的是 array
   ...: r = np.linalg.solve(A,b)        # 调用 solve 函数求解
   ...: print r
   ...:
Out[2]: [[-1.         -6.33333333]
         [ 2.          6.66666667]]

SciPy 求解非线性方程组

先看官方文档的介绍：

scipy.optimize.fsolve(func, x0, args=(), fprime=None, full_output=0, col_deriv=0, xtol=1.49012e-08, maxfev=0, band=None, epsfcn=None, factor=100, diag=None)[source]

一般来说，我们只需要用到 func 和 x0 就够了. func 是自己构造的函数，也就是需要求解的方程组的左端（右端为 0），而 x0 则是给定的初值.

我们来看一个具体的例子，求解：

x + 2y + 3z - 6 = 0
5 * (x ** 2) + 6 * (y ** 2) + 7 * (z ** 2) - 18 = 0
9 * (x ** 3) + 10 * (y ** 3) + 11 * (z ** 3) - 30 = 0

就可以这么写：

In [3]: from scipy.optimize import fsolve
   ...:
   ...: def func(i):
   ...:     x, y, z = i[0], i[1], i[2]
   ...:     return [
   ...:             x + 2 * y + 3 * z - 6,
   ...:             5 * (x ** 2) + 6 * (y ** 2) + 7 * (z ** 2) - 18,
   ...:             9 * (x ** 3) + 10 * (y ** 3) + 11 * (z ** 3) - 30
   ...:            ]
   ...:
   ...: r = fsolve(func,[0, 0, 0])
   ...: print r
   ...:
Out[3]: [ 1.00000001  0.99999998  1.00000001]

当然，SciPy 也可以用来求解线性方程组，这是因为 scipy.optimize.fsolve 本质上是最小二乘法来逼近真实结果.

SymPy 通吃一切

例如求解一个：

x + 2 * (x ** 2) + 3 * (x ** 3) - 6 = 0

直接就是：

In [4]: from sympy import *
   ...: x = symbols('x')
   ...: solve(x + 2 * (x ** 2) + 3 * (x ** 3) - 6, x)
Out[4]: [1, -5/6 - sqrt(47)*I/6, -5/6 + sqrt(47)*I/6]

另外，
Wayne Shi 的这篇 使用 Python 解数学方程 ，就重点讲述了 SymPy 解线性方程组的方法，所以我也就不再赘述了。

其实 SymPy 能干的太多了，有兴趣的可以看一看 GitHub上的 Quick examples.