C++实现二维离散傅里叶变换

在上一篇文章《C++实现一维离散傅里叶变换》中，我们介绍了一维信号傅立叶变换的公式和C++实现，并阐述了频域幅值的意义。

一维傅立叶变换只适用于一维信号，例如音频数据、心脑电图等。

在图像处理中，图像信号具有高度和宽度两个属性，属于二维空间信号。将图像信号从空间域转换到频域时，需使用二维离散傅立叶变换。因此，需要将傅立叶变换从一维推广至二维。

二维连续傅立叶变换公式如下：

经过离散化后，上述公式变为：

，其中u=0,1,2,…,M-1，v=0,1,2,…,N-1。              (式1-1)

相应地，其逆变换为：

对式1-1稍作变换，可得：

其中，刚好是一维傅立叶变换的离散形式。故二维傅立叶变换可理解为先对图像的每一行进行一维傅立叶变换，变换的结果构成一个新的矩阵，再对新矩阵的每一列进行一维傅立叶变换，这样经过两次变换的结果就是二维傅立叶变换的最终结果。

也就是说，二维傅里叶变换相当于先按行变换，再按列变换（也可以先按列变换，再按行变换）。最终生成的频域数据，就是由两个方向的频率强度信息叠加而成。

我们可以用伪代码来实现上述逻辑。假设一维傅里叶变换函数为dft1(vec)，二维信号高度为h，宽度为w，那么伪代码可写成如下形式：

for (int i=0; i

    dft1(row[i]);

for (int i=0; i     dft1(column[i]);

在本文中，我们暂不采用上述伪代码思路。我们直接按式1-1来进行编程实现：

其中，e^{-i2π(ux/M+vy/N)}可转化为三角函数cos(-2π(ux/M+vy/N))+isin(-2π(ux/M+vy/N))，i为虚数单位。转化成三角函数形式，有利于计算机编程实现。只需要采用两个for循环，就可求出单个F(u,v)值，外面再嵌套两个for循环，即可求出所有F(u,v)值。

故得到有利于编程实现的离散傅里叶变换公式如下：

由于涉及复数运算，需要先定义一个复数类，并实现复数运算。

在上一篇文章《C++实现一维离散傅里叶变换》中，我们已经实现了一个复数类ComplexNumber。直接引用它即可。

（注：编译环境是VS2013，使用MFC对话框模板）

二维离散傅里叶变换的头文件如下：

Dft2.h

#pragma once
#include "ComplexNumber.h"

#define      MAX_MATRIX_SIZE                4194304             // 2048 * 2048
#define      PI                                           3.141592653

class CDft2
{
public:
	CDft2(void);
	~CDft2(void);

public:
	bool dft2(double IN const matrix[], int IN const width, int IN const height);       // 二维离散傅里叶变换
	bool idft2(LPVOID OUT *pMatrix, int OUT *width, int OUT *height);                 // 二维离散傅里叶逆变换

	void generate_spectrum();                   // 对变换结果求模，生成频谱/幅度谱
	void normalize_spectrum();                  // 对频谱进行归一化操作

	bool has_dft2_matrix();                         // 是否已存有变换结果
	bool is_shifted_to_center();                  // 是否已将频谱原点平移到图像中心

	void clear_dft2_matrix();                       // 清除已有的变换结果
	void print_matrix();                                // 打印变换结果
	void print_spectrum();                           // 打印频谱
	void shift_spectrum_to_center();          // 将频谱原点平移到图像中心

public:
	CComplexNumber *m_dft2_matrix;
	double                    *m_spectrum_data;

protected:
	bool      m_has_dft_matrix;
	bool      m_is_normalized;
	bool      m_is_spectrum_shifted;
	int         m_dft_matrix_height;
	int         m_dft_matrix_width;
};

由于二维傅里叶变换后得到的矩阵元素数值很大，并且包含实数和虚数。为便于观察分析，需要将变换后的结果进行求模，然后归一化到[0,255]，以便保存为频谱图。归一化后，大部分像素灰度较低，在频谱图上接近黑色，肉眼不容易察觉，因此还需要使用log函数对低灰度区域进行增强。另外，由于傅里叶变换本身具有对称性，最终生成的频谱图的四个角也具有对称性，因此，一般在完成归一化后，还有一个把频谱原点平移到频谱图中心的操作。在类CDft2的声明中，对应的求模、归一化和中心平移函数分别为generate_spectrum()、normalize_spectrum()和shift_spectrum_to_center()。

实现文件如下：

Dft2.cpp

#include "StdAfx.h"
#include "Dft2.h"

CDft2::CDft2(void)
{
	m_dft2_matrix = NULL;
	m_spectrum_data = NULL;
	m_has_dft_matrix = false;
	m_is_normalized = false;
	m_is_spectrum_shifted = false;
	m_dft_matrix_height = 0;
	m_dft_matrix_width = 0;
}

CDft2::~CDft2(void)
{
	if (m_has_dft_matrix && (NULL != m_dft2_matrix) && ((m_dft_matrix_height*m_dft_matrix_width)>0))
		delete[] m_dft2_matrix;
	if (NULL != m_spectrum_data)
		delete[] m_spectrum_data;
}


bool CDft2::has_dft2_matrix()
{
	return m_has_dft_matrix;
}
bool CDft2::is_shifted_to_center()
{
	return m_is_spectrum_shifted;
}


void CDft2::clear_dft2_matrix()
{
	if (m_has_dft_matrix && (NULL != m_dft2_matrix) && ((m_dft_matrix_height*m_dft_matrix_width)>0)) {
		delete[] m_dft2_matrix;
		m_has_dft_matrix = false;
		m_dft_matrix_height = 0;
		m_dft_matrix_width = 0;
	}
}


void CDft2::print_matrix()
{
	char msg[2560] = "11111 ";

	if ((!m_has_dft_matrix) || (NULL == m_dft2_matrix) || (m_dft_matrix_height <= 0) || (m_dft_matrix_width <= 0))
		return;

	for (int u = 0; uMAX_MATRIX_SIZE) || (NULL == matrix))
		return false;

	// to avoid memory leak, make sure to clear existing data buff before executing the transformation
	clear_dft2_matrix();

	m_dft2_matrix = new CComplexNumber[width*height];
	CComplexNumber   cplTemp(0, 0);
	double fixed_factor_for_axisX = (-2 * PI) / height;                   // evaluate -i2π/N of -i2πux/N, and store the value for computing efficiency
	double fixed_factor_for_axisY = (-2 * PI) / width;                   // evaluate -i2π/N of -i2πux/N, and store the value for computing efficiency
	for (int u = 0; u0)) {
		if (NULL != m_spectrum_data) {
			delete[] m_spectrum_data;
			m_is_spectrum_shifted = false;
		}
		m_spectrum_data = new double[m_dft_matrix_height*m_dft_matrix_width];
		for (int u = 0; u0) && ((NULL != m_spectrum_data))) {
		// get max value
		double max = 0;
		for (int u = 0; u max) {
					max = m_spectrum_data[v + u*m_dft_matrix_width];
				}
			}
		}

		// normalize
		if (max <= 0) {
			OutputDebugStringA("11111 Dft2D::NormalizeSpectrum() max value is incorrect! function aborts.");
			return;
		}
		else {
			for (int u = 0; u0) && ((NULL != m_spectrum_data))) {
		double *tempData = new double[m_dft_matrix_height*m_dft_matrix_width];
		memcpy(tempData, m_spectrum_data, m_dft_matrix_height*m_dft_matrix_width*sizeof(double));
		//移到中心  

		for (int u = 0; u= (m_dft_matrix_width / 2))) {
					m_spectrum_data[v + u*m_dft_matrix_width] =
						tempData[(v - m_dft_matrix_width / 2) + (m_dft_matrix_height / 2 + u)*m_dft_matrix_width];
				}
				else if ((u >= (m_dft_matrix_height / 2)) && (v<(m_dft_matrix_width / 2))) {
					m_spectrum_data[v + u*m_dft_matrix_width] =
						tempData[(m_dft_matrix_width / 2 + v) + (u - m_dft_matrix_height / 2)*m_dft_matrix_width];
				}
				else if ((u >= (m_dft_matrix_height / 2)) && (v >= (m_dft_matrix_width / 2))) {
					m_spectrum_data[v + u*m_dft_matrix_width] =
						tempData[(v - m_dft_matrix_width / 2) + (u - m_dft_matrix_height / 2)*m_dft_matrix_width];
				}
			}
		}
		m_is_spectrum_shifted = true;

		if (tempData)
			delete[] tempData;
	}
}

在CDft2实现文件中，实现二维傅里叶变换的函数dft2()主要代码如下（基本是按照式1-1来实现）：

	m_dft2_matrix = new CComplexNumber[width*height];
	CComplexNumber   cplTemp(0, 0);
	double fixed_factor_for_axisX = (-2 * PI) / height;                   // evaluate -i2π/N of -i2πux/N, and store the value for computing efficiency
	double fixed_factor_for_axisY = (-2 * PI) / width;                   // evaluate -i2π/N of -i2πux/N, and store the value for computing efficiency
	for (int u = 0; u

逆变换函数idft2()也主要是按照前面给出的逆变换公式定义来实现。

求模函数generate_spectrum()的实现逻辑：对于复数x = a+bi，其模为m = mod(x) = sqrt(a²+b²)，其中sqrt代表根号。

归一化函数normalize_spectrum()的实现逻辑：先遍历矩阵，找到最大值max，然后对于矩阵中的每一个元素matrix[i]，执行matrix[i] = 255*(matrix[i]/max)，从而归一化到[0,255]。

平移中心函数 shift_spectrum_to_center() 的实现逻辑：将频谱图平分为 4 个象限，将 1 、 3 象限对换， 2 、 4 象限对换。主要通过坐标转换实现。

现在，我们编写并运行一个测试线程，对一个包含三行四列数据的二维信号进行傅里叶变换，以验证上述代码。

DWORD WINAPI test(LPVOID lParam)
{
	char msg[256] = "11111 ";

	int width = 4;
	int height = 3;
	double mat[] = { 1, 1, 3, 2, 3, 4, 123, 154, 55, 2, 22, 233 };

	// Fourier transform
	CDft2 dft2;
	dft2.dft2(mat, width, height);
	dft2.print_matrix();

	dft2.generate_spectrum();
	dft2.normalize_spectrum();
	dft2.print_spectrum();

	// inverse Fourier transform
	LPVOID pMat = NULL;
	int iHeight = 0;
	int iWidth = 0;
	dft2.idft2(&pMat, &iWidth, &iHeight);

	double *iMat = (double *)pMat;
	if (((iWidth*iHeight)>0) && (NULL != iMat)) {
		for (int x = 0; x

在MFC对话框资源中添加一个test按钮，在按钮事件响应函数中添加：

::CreateThread(NULL,0, test, 0, 0, NULL);

然后编译项目。编译成功后，先打开DebugView日志观察工具，再启动生成的exe，点击test按钮，可以在DebugView中看到以下日志输出：

可以看到，逆变换的结果和原始信号完全一致。

使用Matlab的fft2()函数对原始信号进行变换，得到的结果也和上述变换结果一致。

因此我们的实现代码是有效的，输出了正确的变换结果。

当原始信号超过512*512时，本文给出的实现代码执行一次变换大约需要几十秒，这令人难以忍受。

后续我们将介绍基于蝶形分解的快速傅里叶变换，其完成一次512*512原始信号变换只需要几十毫秒。