2020.02.10日常总结——CF趣题讲解

$$\text{Boxes Game}$$

$【原题链接】：$ 点此进入原题面（英文题面）

$【题目大意】：$ A和B在玩游戏。他们面前有一个数组。他们只能拿最左边或最右边的数，然后加进他们的得分，得分越大越好。他们都会以最优的方法拿，求最后的分数差。（感谢rxz老师的翻译）

$【思路】：$ 记$A_{l,r}$表示先手在区间$[l,r]$内的得分，$B_{l,r}$表示后手在区间$[l,r]$内的得分，$W_i$表示第$i$个数，$su{m}_{l,r}$表示区间$[l,r]$内数的总和。所以，我们有：

$$A_{l,r}=\max \{W_l+B_{l+1,r},W_r+B_{l,r-1}\}$$

$$B_{l,r}=su{m}_{l,r}-A_{l,r}$$

我来解释一下它们的含义：第一条转移式比较难理解，为什么前面是$A$而后面就成了$B$了呢？不是同一个人吗？其实不然，$A$和$B$的定义并不是针对某个人的，仅仅是先手后手。什么意思？就是任何一个人都可以调用$A$或$B$来求出自己的得分。

那第一条转移式是什么意思呢？就是说，$W_l+B_{l+1,r}$即先手取了第$l$个数，然后A和·B就只能在区间$[l+1,r]$中取数，而因为轮到其它人选了，所以在区间$[l+1,r]$中他是后手，所以是$B_{l+1,r}$。$W_r+B_{l,r-1}$类似。

$B$的转移比较简单，因为后手没有什么自动权，所以他的得分就是区间得分总和$-$先手的得分。

于是，我们用一个递归$+$两函数互相调用就可以求出答案。答案即$A_{1,n}-B_{1,n}$。

$【代码】：$

int a[1010][1010],test_number,n;
int b[1010][1010],pre[1010],w[1010];
bool va[1010][1010],vb[1010][1010];
inline void init_the_array(){
	memset(a,0,sizeof(a));
	memset(b,0,sizeof(b));
	memset(w,0,sizeof(w));
	memset(pre,0,sizeof(pre));
	memset(va,false,sizeof(va));
	memset(vb,false,sizeof(vb));
}//初始化数组 
inline void read_the_data(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&w[i]);
		pre[i]=pre[i-1]+w[i];
	}
}//读入数据以求解 
inline int sum(int l,int r){
	return pre[r]-pre[l-1];
}//利用前缀和O(1)求[l,r]的分数和 
inline int A(int l,int r);
inline int B(int l,int r);
inline int A(int l,int r){
	if (l==r) return w[l];
	if (va[l][r]) return a[l][r];
	a[l][r]=max(w[l]+B(l+1,r),w[r]+B(l,r-1));
	va[l][r]=true;return a[l][r];
}//计算先手在区间[l,r]内的得分
inline int B(int l,int r){
	if (vb[l][r]) return b[l][r];
	b[l][r]=sum(l,r)-A(l,r);
	vb[l][r]=true;return b[l][r];
}//计算后手在区间[l,r]内的得分
inline void calc_the_answer(){
	init_the_array();
	read_the_data();
	printf("%d\n",A(1,n)-B(1,n));
} 
int main(){
	scanf("%d",&test_number);
	while (test_number--)
		calc_the_answer();
	return 0;
}


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语言：C++
状态：Accepted
得分：100分
备注：无头文件和快读read()函数
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$$\text{Ahmad and Spells}$$

$【原题链接】：$ 点此进入原题面（英文题面）

$【题目大意】：$ 我们有一个剑客，需要给对手$n$点伤害。他每$x$秒可以给$1$点伤害。有$m$种技能，需要$b_i$个金币，可把间隔$x$改为$a_i$ （他最多只能学$1$种技能）。

除此之外，现场有$k$个群众，他需要$d_i$个金币，可以给出$c_i$点伤害（剑客只能雇$1$个群众）。

求剑客最少要多少时间杀死对手。

$【思路】：$ 若有两个群众a和b，若a需要的金币比b少，且a的伤害比b多，那么我们把b删去（因为a比他更物美价廉），剩下的群众满足需要金币越多，伤害越大。

枚举学哪个技能，剩下的钱记为$x$。二分群众中需要的金币小于等于$x$且最大的群众（他在可以雇佣的前提下，伤害最大），我们在学习一次技能的前提下，雇佣他。

于是，我们可以枚举我们学习哪个技能，然后通过二分计算我们可以雇佣哪个群众，然后计算去最优值。

注意，可以不学技能，这样可能也最优（毕竟没花钱）！！！当然，也可以不选群众。

题目就做完了……

$【代码】：$

typedef long long ll;
const int N=1e5+100;
struct hero_id{
	ll c,d;
	bool operator < (hero_id p) const{
		return d<p.d;
	}
	hero_id(ll _c=0,ll _d=0){c=_c;d=_d;}
}h[N];ll a[N],b[N];
vector<hero_id> chose;
ll n,m,k,x,s,ans;
void read_the_data(){
	memset(a,0,sizeof(a));
	memset(b,0,sizeof(b));
	memset(h,0,sizeof(h));
	chose.clear();//int i;
	n=read();m=read();k=read();
	x=read();s=read();
	for(int i=1;i<=m;i++)
		a[i]=read();
	for(int i=1;i<=m;i++)
		b[i]=read();
	for(int i=1;i<=k;i++)
		h[i].c=read();
	for(int i=1;i<=k;i++)
		h[i].d=read();
}
void choose_heros(){
	sort(h+1,h+k+1);
	chose.push_back(hero_id(0,0));
	register ll maxn=0ll;
	for(int i=1;i<=k;i++){
		if (h[i].c<=maxn) continue;
		chose.push_back(h[i]);maxn=h[i].c;
	}
}
inline ll Left(ll p){
	return (*(--upper_bound(chose.begin(),chose.end(),hero_id(0,p)))).c;
}
inline void calc_answer(){
	ans=9e18;a[0]=x;b[0]=0;
	for(int i=0;i<=m;i++)
		if (s>=b[i]){
			ll used=Left(s-b[i]),cost;
			if (n-used<=0) cost=0ll;
			else cost=(n-used)*a[i];
			ans=min(ans,cost);
		}
}
int test_number;
int main(){
	test_number=read();
	while (test_number--){
		read_the_data();
		choose_heros();
		calc_answer();
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

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语言：C++
状态：Accepted
得分：100分
备注：无头文件和快读read()函数
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