利用MATLAB求解一阶线性常系数非齐次微分方程组

主要步骤

本来想用在矩阵论期中开卷考试验证计算结果的，结果一个解方程组的题也没考…在一些学习网站白嫖惯了，也该分享一下知识，希望这里的code能对搜索到的人有帮助。
主要应用了matlab的符号矩阵，讲解不侧重推导，只侧重编程实现，详情可以看矩阵论相关的参考书。

1.问题形式

一阶线性常系数齐次微分方程组形式为：
$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}{\xi }_1}{\mathrm{d}t}& =a_{11}{\xi }_1+a_{12}{\xi }_2+\cdots +a_{1n}{\xi }_n+{\beta }_1(t)\\ & \\ \frac{\mathrm{d}{\xi }_2}{\mathrm{d}t}& =a_{21}{\xi }_1+a_{22}{\xi }_2+\cdots +a_{2n}{\xi }_n+{\beta }_2(t)\\ & ⋮\\ \frac{\mathrm{d}{\xi }_n}{\mathrm{d}t}& =a_{n1}\xi +a_{n2}{\xi }_2+\cdots +a_m{\xi }_n+{\beta }_n(t)\end{array}$$
将其改写为矩阵方程：
$${\mathbf{x}}^{\prime }=\frac{d\mathbf{x}}{dt}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{b}(t)$$
其一般解为：
$$\mathbf{x}(t)={\mathbf{e}}^{\left(t-t_0\right)\mathbf{A}}{\mathbf{x}}_0+{\mathrm{e}}^{t\mathbf{A}}{\int }_{t_0}^t{\mathrm{e}}^{-s\mathbf{A}}\mathbf{b}(s)\mathrm{d}s$$
其中${\mathbf{x}}_0$为变量的初始值。

2.求矩阵函数

矩阵函数$e^{t\mathbf{A}}$的求解采用若当标准型法。
代码如下：
定义函数，输出为矩阵函数的矩阵

function [EtA,P,J] = my_expm( A )

首先求若当标准型，这里注意一定要将矩阵$A$转化为符号矩阵形式，标准型和特征向量会以分数和根号形式表示，并将所有若当块用元组（cell）存储

syms t x%x表示奇异值
[P,J] = jordan(sym(A));%先求若当标准型
n = size(A,1);
J_ = {};
%num存储若当块的个数
num = 1;pre = 1;
for i = 2:n
    if J(i-1,i) == 0
        J_{num} = J(pre:i-1,pre:i-1);
        pre = i;
        num = num + 1;
        if i == n 
            J_{num} = J(pre,pre);
        end
    end
    if i == n && J(i-1,i) == 1
        J_{num} = J(pre:n,pre:n);
    end
end

搜索尺寸最大的若当块，因为特征多项式的导数次数由最大的若当块尺寸决定，这个尺寸可以和上一次遍历合并，这样一次遍历就可以得到所有的若当块和最大若当块尺寸。

%搜索最大维度
mSize = 0;
for i = 1:num
    if size(J_{i},1) > mSize
        mSize = size(J_{i},1);
    end
end

在这里定义特征多项式和其$n-1$次导数除以$(n-1)!$的形式，存入数组备用。

%定义矩阵多项式的导数
f_J = [exp(t*x)];
for j = 1:mSize-1
    f_J = [f_J,diff(exp(t*x),x,j)/prod(1:j)];
end
f_J = simplify(f_J);

对每一个若当块求特征函数矩阵，将所有特征函数矩阵对角合并到一起。

EtJ = [];
%blkdiag对角合并
for i = 1:num%若当块索引
    n1 = size(J_{i},1);
    etJ = subs(f_J(1),x,J_{i}(1,1))*diag(ones(1,n1));
    if n1 >= 2
        for j = 1:n1-1%若当块维度索引
            etJ = etJ + diag(subs(f_J(j+1),x,J_{i}(1,1))*ones(1,n1-j),j);
        end
    end
    EtJ = blkdiag(EtJ,etJ);%若当块合并
end
EtJ = simplify(EtJ);
EtA = P*EtJ*(inv(P));

输入：
$$A=\left[\begin{array}{rrr}-2& 1& 0\\ -4& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right]$$
输出：

ans =
[          1 - 2*t,              t,      0]
[             -4*t,        2*t + 1,      0]
[ 2*t - exp(t) + 1, exp(t) - t - 1, exp(t)]

3.代入矩阵A的指数函数得最终解

定义函数

function [x,EtA] = my_solve_equation( A,b,co,to )
    %输入：A系数矩阵，b非齐次项（齐次为0）,co初始值,to初始时刻
    %一阶线性常系数非齐次\齐次微分方程组

将$t$替换为$t-t_0$求解解得第一项

%先求矩阵A指数函数
[EtA,~,~] = my_expm( A,1 );
syms t s
Firs = subs(EtA,t,t-to)*co;

求解第二项矩阵积分项

b = subs(b,t,s);%一步符号替换
E_tA = subs(EtA,t,-s);
Secn = EtA*int(E_tA*b,s,to,t);
x = simplify(Firs + Secn);

输入：
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{rrr}-2& 1& 0\\ -4& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right]\mathbf{b}(t)=\left[\begin{array}{r}1\\ 2\\ e^t-1\end{array}\right]\mathbf{x}(0)=\left[\begin{array}{r}1\\ 1\\ -1\end{array}\right]t_0=0$$
输出：

ans =
              1
              1
 exp(t)*(t - 1)