CQOI 2015 选数 题解

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题目大意： 从 $[L,H]$ 中选 $N$ 个数，可以重复选，问有多少种选法可以使得这 $N$ 个数的 $\gcd$ 为 $k$。

题解

一看到 $gcd$ 自然而然的就想到莫比乌斯反演了。

设 $f(d)$ 表示有多少种选取方案的 $\gcd$ 为 $d$，$F(n)$ 表示有多少种选取方案的 $\gcd$ 是 $n$ 的倍数，那么有：
$$F(n)=\sum _{n|d}f(d)$$

反演一下得到：
$$f(d)=\sum _{d|n}F(n)\mu (\frac{n}{d})$$
设 $i=\frac{n}{d}$，更换枚举对象，有：
$$f(d)=\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{H}{d}\rfloor }F(id)\mu (i)$$

显然 $F(n)=(\lfloor \frac{H}{n}\rfloor -\lfloor \frac{L-1}{n}\rfloor {)}^N$，带进去得：
$$f(d)=\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{H}{d}\rfloor }(\lfloor \frac{H}{id}\rfloor -\lfloor \frac{L-1}{id}\rfloor {)}^N\mu (i)$$

变成了一个除法分块的形式，再用杜教筛筛一下 $\mu$ 的前缀和就好了。

所以然而并不知道题目里面 $H-L\le 10^5$ 这个条件用来干啥qwq。

代码如下：

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#define mod 1000000007ll
#define ll long long
#define maxn 6000010

int n,k,L,H;
int prime[maxn],t=0,mu[maxn];
bool v[maxn];
void work()
{
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=maxn-10;i++)
	{
		if(!v[i])prime[++t]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=t&&i*prime[j]<=maxn-10;j++)
		{
			v[i*prime[j]]=true;
			if(i%prime[j]==0)break;
			mu[i*prime[j]]=-mu[i];
		}
		mu[i]+=mu[i-1];
	}
}
int ksm(int x,int y)
{
	int re=1,tot=x;
	while(y>0)
	{
		if(y%2==1)re=(ll)re*tot%mod;
		tot=(ll)tot*tot%mod;
		y/=2;
	}
	return re;
}
map<int,int>mapmu;
int S(int x)
{
	if(x<=maxn-10)return mu[x];
	if(mapmu[x])return mapmu[x];
	int re=1,l=2,r;
	while(l<=x)
	{
		r=x/(x/l);
		re-=S(x/l)*(r-l+1);
		l=r+1;
	}
	mapmu[x]=re;
	return re;
}

int main()
{
	work();
	scanf("%d %d %d %d",&n,&k,&L,&H);
	L--;L/=k;H/=k;
	int l=1,r,ans=0;
	while(l<=H)
	{
		if(l<=L)r=min(L/(L/l),H/(H/l));
		else r=H/(H/l);
		ans=((ll)ans+(ll)ksm(H/l-L/l,n)*((ll)(S(r)-S(l-1)+mod)%mod)%mod)%mod;
		l=r+1;
	}
	printf("%d\n",ans);
}