第一类斯特林数

概念

$\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right]$表示将$n$个数的序列划分为$k$个圆排列的方案数。

递推公式

$$\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right]=\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1}\right]+\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k}\right]\times (n-1)$$
$\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1}\right]$表示将最后一个数单独创建一个圆排列的方案数

$\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k}\right]\times (n-1)$表示将最后一个数插入前面k个圆排列中的方案数。对每个圆排列，能插入的位置数即为圆排列的大小，所以总的插入位置数为n-1。

多项式表示

$\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right]$为多项式$f_n(x)={\prod }_{i=0}^{n-1}(x+i)$的$k$次项系数。
比较好想：（不严格证明）
$n=1$时显然成立。
$n>1$时，$f_n(x)=(x+n-1)f_{n-1}(x)=x\cdot f_{n-1}(x)+(n-1)f_{n-1}(x)$
即，将$f_{n-1}(x)$右移一位，再加上自己的$(n-1)$倍，列个表出来看看。
$$\begin{array}{cccccc}& 1& x& x^2& x^3& ...\\ & & & & & \\ x\cdot f_{n-1}& & \left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{0}\right]& \left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{1}\right]& \left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{2}\right]& ...\\ & & & & & \\ & & & & & \\ (n-1)f_{n-1}& (n-1)\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{0}\right]& (n-1)\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{1}\right]& (n-1)\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{2}\right]& (n-1)\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{3}\right]& ...\\ & & & & & \end{array}$$
对应竖着相加，$x^i$系数正好为$\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{i-1}\right]+(n-1)\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{i}\right]=\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right]$

倍增求Stirling

利用上面那个多项式，已经可以用分治FFT求出，时间复杂度$O(n\cdot {{\log }_2}^{2}n)$

还可以更优秀。
当我们求出$f_n(x)={\prod }_{i=0}^{n-1}(x+i)$，可以更快的求出$g_n(x)={\prod }_{i=0}^{n-1}(x+n+i)$
这样可得$f_{2n}(x)=f_n(x)g_n(x)$
设$f_n(x)$已求出，$f_n(x)={\sum }_{i=0}^n{a}_i\cdot x^i$
$$\begin{array}{rl}{g}_n(x)& =\sum _{i=0}^n{a}_i(x+n{)}^i\\ & =\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^i{a}_i\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j}\right)n^{i-j}{x}^j\\ & =\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^i{a}_i\frac{i!}{(i-j)!\cdot j!}{n}^{i-j}{x}^j\\ & =\sum _{j=0}^n\frac{x^j}{j!}\sum _{i=j}^n(a_i\cdot i!)\frac{n^{i-j}}{(i-j)!}\\ & =\sum _{i=0}^n\frac{x^i}{i!}\sum _{j=0}^{n-i}(a_{i+j}\cdot (i+j)!)\frac{n^j}{j!}\end{array}$$
后面一个求和式满足卷积的形式，将一个多项式设为${\sum }_{i=0}^n{a}_i(i+j)!\cdot x^i$，另一个多项式设为${\sum }_{i=0}^n\frac{n^i}{i!}{x}^{n-i}$，两多项式相乘，再左移n位即可。

于是我们可以倍增求解，每次求出$f_n(x)$，用$O(n{\log }_{2}n)$的时间计算出$f_{2n}(x)$
总时间复杂度为$T(n)=T(n/2)+O(n\log n)=O(n\log n)$

一些能转换为第一类斯特林数的问题

1.求满足此条件排列的方案数：n个数的排列，有m个数满足，这个数在他的前缀中是最大的。
这m个数把n个数分成了m段，每段中，最大数一定在最前面，即每一段内的排列，只有相对位置不同，才算不同的排列，就是圆排列。所以方案数为$\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right]$。
2.留坑。。。。。。。