网络流——最小割求最大权闭合子图

定义

有一个有向图，每一个点都有一个权值（可以为正或负或0），选择一个权值和最大的子图，使得每个点的后继都在子图里面，这个子图就叫最大权闭合子图。
如下图：

能选的子图有Ø,{4},{3,4},{2,4},{1,2,3,4},它们的权值分别为0,-1,5,-6,4.
所以最大权闭合子图为{3,4}，权值为5.

解法

这个问题可以转化为最小割问题，用网络流解决。
从源点s向每个正权点连一条容量为权值的边，每个负权点向汇点t连一条容量为权值的绝对值的边，有向图原来的边容量全部为无限大。

求它的最小割，割掉后，与源点s连通的点构成最大权闭合子图，权值为（正权值之和-最小割）。

如何理解

割掉一条边的含义

由于原图的边都是无穷大，那么割边一定是与源点s或汇点t相连的。

割掉s与i的边，表示不选择i点作为子图的点；
割掉i与t的边，表示选择i点为子图的点。

如果s与i有边，表示i存在子图中；
如果i与t有边，表示i不存在于子图中。

合法性

只有s与t不连通时，才能得到闭合子图。

如果s与t连通，则存在点i,j，使得s到i有边，i到j连通，j到t有边，所以j一定是i的后继，但选择了i，没有选择j，不是闭合子图。

如果s与t不连通，选择了正权点i，一定选择了i后继中的所有负权点。设j是i的后继中的正权点，则割掉s到j的边是没有意义的，最小割不会割掉它，则j一点被选中，所以i的所有后继都被选中，符合闭合图的定义。

最优性

最小割=(不选的正权之和+要选的负权绝对值之和）
最大权闭合子图=（正权之和-不选的正权之和-要选的负权绝对值之和）=正权值和-最小割
因为正权值和，是定值，而最小割保证值最小，所以最大权闭合子图一定最优。

例题

POJ2987_Firing