考研专题(积分不等式)

先介绍一些常用的积分形式的不等式，以及总结一些证明积分不等式的思路和方法。

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写题最常见的就是柯西不等式，要求熟练运用。小编给了三种证明柯西不等式的方法，单纯看方法，考研直接用柯西不等式，不需要证明。

对不等式的证明思路给出以下总结与习题 (顺序不具任何代表性)：

一、常数变易法

将积分区间某端点转化为变量，利用变限积分求导判断单调性，由此证得命题。注意构造函数前先通分移项将不等式右边化为0。

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二、重积分法

针对积分区间相同的积分乘积，根据二重积分的轮换对称性，结合基本不等式、绝对值不等式等证得命题。

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三、柯西不等式（非常重要）

要求熟记柯西不等式，熟练应对各种变形。

尤其在含有一阶及高阶导数的积分中，柯西不等式具有很明显的优势。

函数化积分的思路非常重要：f(x)=f(a)+int f'(t) dt from a to x.

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四、定积分定义法（黎曼和）

熟记定积分的定义，单调函数的上下黎曼和与积分的大小比较是证明积分不等式的常见方法。

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五、微分中值定理（重点泰勒公式）

对于被积函数一阶或二阶可导的不等式，往往可以考虑中值定理或泰勒公式。

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六、反证法

想不到行得通的方法时，不妨试试反证法。

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暂时先总结这么多方法。

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