GIS中的计算几何(一)

GIS中的计算几何(一)

2007-08-17 15:46

陈玉进 李泉 南京跬步科技有限公司（http://www.creable.cn）   GIS是一个图形系统，必然会涉及到几何学的理论应用，比如，图形可视化，空间拓扑分析，GIS图形编辑等都需要用到几何。向量几何是用代数的方法来研究几何问题，首先，请大家翻一翻高等数学里有关向量的章节，熟悉一下几个重要的概念：向量、向量的模、向量的坐标表示、向量的加减运算、向量的点积、向量的叉积，以及这些概念的几何意义...下面我们将用这些基本概念来解答GIS中一些几何问题。 1   点和线的关系         点是否在线段上，这样的判断在图形编辑，拓扑判断(比如，GPS跟踪点是否跑在线上)需要用到这样的判断。通常的想法是：先求线段的直线方程，再判断点是否符合这条直线方程，如果符合，还要判断点是否在线段所在的矩形区域(MBR)内，以排除延长线上的可能性，如果不符合，则点不在线段上。这种思路是可行的，但效率不高，涉及到建立方程，解方程。借助向量的叉积（也叫向量的向量积，结果还是向量，有方向的）可以很容易的判断。设向量a=(Xa,Ya,Za)  b=(Xb,Yb,Zb)  向量叉积a X b如下： 二维向量叉积的模 |a X b|=|a|*|b|*sinα=|Xa*Yb-Ya*Xb| （α是向量a,b之间的夹角），向量叉积模的几何意义是以向量a,b为邻边的平行四边形的面积。可以推测：如果两向量共线，向量叉积模(所代表的 平行四边形的面积) 为零 则                        |a X b|=|a|*|b|*sinα=|Xa*Yb-Ya*Xb|=0, 否则不共线，叉积的模为非零，根据这样条件可以很轻松的判断点和线的关系，避免了建立方程和解方程的麻烦。         向量叉积的模|AB X AC|=0即可判断C点在AB所确定的直线上，再结合C点是否在AB所在的MBR范围内，就可以最终确定C是否在AB线段上。关于点和线段的其他关系，都可以通过叉积的求得，比如 判断点在线的哪一侧，右手法则，可以通过a X b= (Xa*Yb-Ya*Xb)*k中的（Xa*Yb-Ya*Xb）正负来判断。留给大家思考，很简单的，呵呵… 2   线和线的关系         判断两条线段是否相交，在很多拓扑判断和图形编辑 ( 比如，线的打断来构建拓扑，编辑线对象，叠置分析，面与面关系的判断等 ) 中都需要用到线线相交的判断，如果两条线段相交，一条线段的两端点必然位于另一条线段的两侧（不考虑退化情况，也就是一条线段的端点在另一条线段上，这个很容易判断） 两向量的叉积a X b= (Xa*Yb-Ya*Xb)*k ，分别判断AB X AC的方向与AB X AD的方向是否异号，再判断CD X CA 的方向与CD X CB的方向是否异号，即可判断两线段是否相交。 退化情况，即一条线的端点落在另一条线上。运用”点是否在线段上”的方法来判定。详细区分留给大家思考。呵呵…         利用向量的方向还可以判断线段的转向，这个在道路导航中有所应用： 3   点和面的关系 在各种拓扑判断中（比如，面对象的选取，包含关系的判断等）需要判断一个点是否位于某个面内，经典的方法就是“垂线法”，在直角坐标系中，从这个点向X轴作射线，判断射线与多边形的交点个数（不考虑退化情况，退化情况下，判断点或者射线与多边形端点或者边的关系），如果为奇数，则点在面内，为偶数，则点在面外。 [email protected]