线性代数笔记8：矩阵的对角化

本文主要讲矩阵对角化的证明及应用。

矩阵对角化条件

• 定义一：若存在可逆矩阵 S S ，使得 S−1AS S − 1 A S 为对角矩阵，则称为矩阵 A A 是可对角化的（diagonalized）。

  • 设 n×n n × n 矩阵有 n n 个线性无关的特征向量 x1,...,xn x 1 , . . . , x n ，令 S=(x1,...,xn) S = ( x 1 , . . . , x n ) ，则：
  AS=A(x1,...,xn)=(λ1x1,...,λnxn)=(x1,...,xn)⎛⎝⎜λ1...λn⎞⎠⎟ A S = A ( x 1 , . . . , x n ) = ( λ 1 x 1 , . . . , λ n x n ) = ( x 1 , . . . , x n ) ( λ 1 . . . λ n )
  AS=SΛ⇒S−1AS=Λ A S = S Λ ⇒ S − 1 A S = Λ

• 定义二： n×n n × n 矩阵 A A 可对角化的充要条件是 A A 有 n n 个线性无关的特征向量。

  那么什么样的方阵有线性无关的特征向量呢？

• 定义三： λ1,..,λn λ 1 , . . , λ n 是矩阵 A A 的互异特征值， x1,...,xn x 1 , . . . , x n 是相应的特征向量，则 x1,...,xn x 1 , . . . , x n 线性无关。

  • 可利用vandermonde行列式证明
  • 可用反证法证明
  • 同一个特征值对应的特征向量不一定都线性无关。

• 定义四：若 n×n n × n 矩阵有 n n 个互异的特征值，则矩阵可以对角化。

  • 但若矩阵有相同的特征值，也可能可以对角化。

相似矩阵性质

1. 若 n n 阶矩阵 A A 与 B B 相似，则 A与B A 与 B 特征多项式相同。
2. 相似矩阵特征值相同。
3. 相似矩阵行列式相同。
4. 具有相同的可逆性。

几何重数与代数重数

1. 定义：设 det(A−λI)=(λ1−λ)n1...(λk−λ)nk d e t ( A − λ I ) = ( λ 1 − λ ) n 1 . . . ( λ k − λ ) n k ，称 ni n i 为特征值 λi λ i 的代数重数（algebraic multiplicity），记做 AM(λi)=ni A M ( λ i ) = n i ，称 dimN(A−λiI) d i m N ( A − λ i I ) 为特征值 λi λ i 的几何重数（geometric multiplicity），记做 GM(λi)=dimN(A−λ+iI) G M ( λ i ) = d i m N ( A − λ + i I ) 。

   从直观上看，代数重数就是对应的特征值的次数，几何重数是特征向量的维数，探究的就是特征值和特征向量之间的关系。

2. 任意复方阵相似于上三角阵，且对角元为上三角矩阵的特征值。

3. GM(λ)≤AM(λ) G M ( λ ) ≤ A M ( λ )

   由定理2， A A 相似于上三角矩阵 T T ，则 A A 和 T T 有相同的特征值，且对于任意特征值 λi λ i ， GMA(λi)=GMT(λi) G M A ( λ i ) = G M T ( λ i ) 。

   因此，不妨设 A A 是上三角阵，即 A=⎛⎝⎜a11...ann⎞⎠⎟ A = ( a 11 . . . a n n ) 。

   因此 A−λiI A − λ i I 为对角线上对应的特征值为0，但这一行不一定为0（最多矩阵的特征值少1），因此新的矩阵 r(A−λiI)≥n−AM(λi) r ( A − λ i I ) ≥ n − A M ( λ i )

   所以 GM(λi)=n−r(A−λiI)≤AM(λi) G M ( λ i ) = n − r ( A − λ i I ) ≤ A M ( λ i ) 。

4. 若复方阵 A A 可对角化 ⇔ ⇔ 对任意特征值 λi λ i ， GM(λi)=AM(λi) G M ( λ i ) = A M ( λ i ) 。

   因为若 GM(λi)=AM(λi) G M ( λ i ) = A M ( λ i ) ，则矩阵有 n n 个线性无关的特征向量。

矩阵对角化判断

1. 求出矩阵的所有特征值。
2. 对于每个特征值，计算特征向量，并检查 r(A−λiI)=n−AM(λi) r ( A − λ i I ) = n − A M ( λ i ) 是否成立。
3. 若都成立，则计算特征向量（基础解系）。
4. 最后将特征向量与特征值对应起来，就可以写出 P−1AP=Λ P − 1 A P = Λ 。

注意：使矩阵对角化的特征向量不是唯一的（可以乘上常数倍）。

矩阵对角化的应用

1. 可快速计算 Ak A k 。

2. 可计算Markov过程中的平稳分布 π π 。

   可得到方程： πP=ππ1=1 π P = π π 1 = 1 。

3. 计算Fibonacci数列。

4. 差分方程 uk+1=Auk u k + 1 = A u k 描述的离散动力系统的长期行为

   设 A A 可对角化，即存在可逆矩阵 S=(x1,...,xn) S = ( x 1 , . . . , x n ) ，使得 S−1AS=Λ S − 1 A S = Λ

   设 S−1u0=(c1,...,cn)T S − 1 u 0 = ( c 1 , . . . , c n ) T ,即 u0=c1x1+...+cnxn u 0 = c 1 x 1 + . . . + c n x n 。

   uk=Aku0=SΛkS−1u0=c1λk1x1+...+cnλknxn u k = A k u 0 = S Λ k S − 1 u 0 = c 1 λ 1 k x 1 + . . . + c n λ n k x n

   可以看出， uk u k 的增长因子 λki λ i k 支配，因此系统的稳定性依赖于 A A 的特征值。

   当所有特征值 |λi|<1 | λ i | < 1 时，是稳定的；

   当所有特征值 |λi|≤1 | λ i | ≤ 1 时，是中性稳定的；

   当至少有一个特征值 |λi|>1 | λ i | > 1 时，是不稳定的；

同时对角化

1. 定理：若 A、B A 、 B 有相同的特征向量矩阵 P P ，使得 P−1AP=Λ1,P−1BP=Λ2 P − 1 A P = Λ 1 , P − 1 B P = Λ 2 ，则 AB=BA A B = B A 。
2. 逆命题也成立：若 A、B A 、 B 都可对角化，并且 AB=BA A B = B A ，则 A、B A 、 B 可同时对角化。

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