多项式对数函数 学习笔记 洛谷4725

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题意：
给出$n-1$次多项式$A(x)$，求一个$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n$下的多项式$B(x)$，满足$B(x)\equiv \ln A(x)(mod{x}^n)$。
在$\text{mod }998244353$下进行。

题解：
好吧，我们需要用到一些微积分的知识。先介绍一下对于一个多项式，求导和积分后多项式会变成什么样子。

先介绍一下求导。对于一个多项式$f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_n{x}^n$，我们对其求导之后就会变成$f^{\prime }(x)=a_1+2a_{2}x+3a_3{x}^2+...+n{a}_n{x}^{n-1}$，也就是对于每一项，原来的指数乘到系数上，然后指数减一。

然后介绍一下积分。对于一个多项式$f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_{n-1}{x}^{n-1}$，我们对其积分之后就会变成$\int f(x)=\frac{a_0}{1}x+\frac{a_1}{2}{x}^2+...+\frac{a_{n-1}}{n}{x}^n+c$，也就是对于第$i$项，它的系数变为$\frac{a_{i-1}}{i}$，$+c$是加上一个丢失的常数。

我们知道导数和积分可以看作逆运算，即$g(x)=\int g^{\prime }(x)$。然后我们还要知道${\ln }^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$。然后对于一个复合函数$f(g(x))$，它的导数$f(g(x){)}^{\prime }$的求导法则是$f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$。

好，我们开始推式子。$$\ln A(x)=\int (\ln A(x){)}^{\prime }=\int (\frac{1}{A(x)}{A}^{\prime }(x))=\int \frac{A^{\prime }(x)}{A(x)}$$

对于一个多项式，我们先求导再积分多项式不变，于是我们先求导，算出$A^{\prime }(x)$，其中的$\frac{1}{A(x)}$可以用多项式求逆来$O(nlogn)$的求出来，然后我们再积分回去就好了。其中知道了对多项式的求导和积分法则之后求导和积分都可以$O(n)$完成，于是最后复杂度是$O(nlogn)$。

代码：

#include 
using namespace std;

int n,m,l,rev[400010];
long long a[400010],b[400010],c[400010],d[400010],x[400010],y[400010];
const long long mod=998244353,g=3,gi=332748118;
inline int read()
{
	int x=0;
	char s=getchar();
	while(s>'9'||s<'0')
	s=getchar();
	while(s>='0'&&s<='9')
	{
		x=x*10+s-'0';
		s=getchar();
	}
	return x;
}
inline long long ksm(long long x,long long y)
{
	long long res=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)
		res=res*x%mod;
		x=x*x%mod;
		y>>=1;
	}
	return res;
}
inline void ntt(long long *a,int dft,int len)
{
	m=len;
	l=0;
	for(len=1;len<m;len<<=1)
	++l;
	for(int i=0;i<len;++i)
	rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	for(int i=0;i<len;++i)
	{
		if(i<rev[i])
		swap(a[i],a[rev[i]]);
	}
	for(int i=1;i<len;i<<=1)
	{
		long long wn=ksm((dft==1?g:gi),(mod-1)/(i<<1));
		for(int j=0,p=(i<<1);j<len;j+=p)
		{
			long long w=1;
			for(int k=0;k<i;++k)
			{
				long long xx=a[j+k],yy=w*a[i+j+k]%mod;
				a[j+k]=(xx+yy)%mod;
				a[i+j+k]=(xx-yy+mod)%mod;
				w=w*wn%mod;
			}
		}
	}
	if(dft==-1)
	{
		long long ni=ksm(m,mod-2);
		for(int i=0;i<len;++i)
		a[i]=a[i]*ni%mod;
	}
}
inline void inv(long long *a,long long *b,int len)
{
	if(len==1)
	{
		b[0]=ksm(a[0],mod-2);
		return;
	}
	inv(a,b,len>>1);
	for(int i=0;i<len;++i)
	{
		x[i]=a[i];
		y[i]=b[i];
	}
	ntt(x,1,len<<1);
	ntt(y,1,len<<1);
	for(int i=0;i<(len)<<1;++i)
	x[i]=x[i]*y[i]%mod*y[i]%mod;
	ntt(x,-1,len<<1);
	for(int i=0;i<len;++i)
	b[i]=(b[i]*2%mod-x[i]+mod)%mod;
	for(int i=0;i<(len<<1);++i)
	{
		x[i]=0;
		y[i]=0;
	}
}
int main()
{
	n=read();
	for(int i=0;i<=n-1;++i)
	a[i]=read();
	int ji; 
	for(ji=1;ji<=n;ji<<=1);
	for(int i=1;i<ji;++i)
	b[i-1]=a[i]*i%mod;
	b[ji-1]=0;
	inv(a,c,ji);				
	ntt(b,1,ji<<1);		
	ntt(c,1,ji<<1);			
	for(int i=0;i<(ji<<1);++i)
	b[i]=b[i]*c[i]%mod;	
	ntt(b,-1,ji<<1);
	for(int i=1;i<ji;++i)
	c[i]=b[i-1]*ksm(i,mod-2)%mod;
	c[0]=0;
	for(int i=0;i<n;++i)
	printf("%lld ",c[i]);
	printf("\n");
	return 0;
}