Leetcode——837. 新21点 概率Dp
爱丽丝参与一个大致基于纸牌游戏 “21点” 规则的游戏，描述如下：
爱丽丝以 0 0 0 分开始，并在她的得分少于 K 分时抽取数字。 抽取时，她从 [ 1 , W ] [1, W] [1,W] 的范围中随机获得一个整数作为分数进行累计，其中 W W W 是整数。 每次抽取都是独立的，其结果具有相同的概率。
当爱丽丝获得不少于 K K K 分时，她就停止抽取数字。 爱丽丝的分数不超过 N N N的概率是多少？
示例 1：
输入：N = 10, K = 1, W = 10
输出：1.00000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
示例 2：
输入：N = 6, K = 1, W = 10
输出：0.60000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
在 W = 10 的 6 种可能下，她的得分不超过 N = 6 分。
示例 3：
输入：N = 21, K = 17, W = 10
输出：0.73278
提示：
0 ≤ K ≤ N ≤ 10000 0 \le K \le N \le 10000 0≤K≤N≤10000
1 ≤ W ≤ 10000 1 \le W \le 10000 1≤W≤10000
如果答案与正确答案的误差不超过 1 0 − 5 10^{-5} 10−5，则该答案将被视为正确答案通过。
此问题的判断限制时间已经减少。
来源：力扣（LeetCode）
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题解
因为最终的概率是和下一轮开始前的得分有关的，因此我们可以根据得分计算下面的概率。
设 d p [ x ] dp[x] dp[x]表示得分为 x x x的情况下开始玩游戏并且获胜的概率。那么就可以确定所需要的求的答案是 d p [ 0 ] dp[0] dp[0]。
根据题意，当分数大于等于 K K K的时候游戏结束，如果游戏结束的时候，如果分数不超过 N N N就获得胜利。如果分数超过 N N N就失败。那么当
d p [ x ] = { d p [ x ] = 1 K ≤ x ≤ min ( N , K + W − 1 ) d p [ x ] = 0 x > m i n ( N , K + W − 1 ) dp[x] = \begin{cases}dp[x] = 1 \quad K \le x \le \min(N,K+W-1) \\ dp[x] = 0\quad x > min(N,K+W-1)\end{cases} dp[x]={dp[x]=1K≤x≤min(N,K+W−1)dp[x]=0x>min(N,K+W−1)
这是因为不超过K的时候能够最大的数字是 K − 1 K-1 K−1，此时可以抽一次，最大值为 W W W，所以得到的最大分数为 K + W − 1 K+W-1 K+W−1
那么当 0 ≤ x < K 0\le x < K 0≤x<K的时候。每一个 x x x得分可以转移 W W W个状态，因为在 x x x的状态下可以抽取的范围为 [ 1 , W ] [1,W] [1,W]，每个数字的概率为 1 W \frac{1}{W} W1。所以 d p [ x ] dp[x] dp[x]可以表示为：
d p [ x ] = d p [ x + 1 ] + ⋯ + d p [ x + W ] W dp[x] = \frac{dp[x+1]+\cdots + dp[x+W]}{W} dp[x]=Wdp[x+1]+⋯+dp[x+W]
所以根据这个状态转移方程，可以计算出最后的答案，但是我们会发现，这个状态转移的时间复杂度有点高 O ( K W ) O(KW) O(KW)。
但是一般动态规划都是相邻项之间的转移，那么我们看看相邻项之间的关系。
d p [ x ] = d p [ x + 1 ] + ⋯ + d p [ x + W ] W dp[x] = \frac{dp[x+1]+\cdots + dp[x+W]}{W} dp[x]=Wdp[x+1]+⋯+dp[x+W]
d p [ x + 1 ] = d p [ x + 1 + 1 ] + ⋯ + d p [ x + 1 + W ] W dp[x+1] = \frac{dp[x+1+1]+ \cdots + dp[x+1+W]}{W} dp[x+1]=Wdp[x+1+1]+⋯+dp[x+1+W]
所以可以得到了
d p [ x ] − d p [ x + 1 ] = d p [ x + 1 ] − d p [ x + W + 1 W dp[x]-dp[x+1] = \frac{dp[x+1]-dp[x+W+1}{W} dp[x]−dp[x+1]=Wdp[x+1]−dp[x+W+1
d p [ x ] = d p [ x + 1 ] − d p [ x + 1 ] − d p [ x + W + 1 ] W dp[x] = dp[x+1] -\frac{dp[x+1]-dp[x+W+1]}{W} dp[x]=dp[x+1]−Wdp[x+1]−dp[x+W+1]
其中 0 ≤ x < K − 1 0\le x
注意 x x x的取值范围哦，所以我们需要单独处理 K − 1 K-1 K−1。
因此我们可以在 O ( 1 ) O(1) O(1)的范围内得到转移方程。
func min(a,b int)int {
if a > b{
return b
}
return a
}
func new21Game(N int, K int, W int) float64 {
if K== 0{
return 1.0
}
dp := make([]float64, K+W+1)
for i:=K;i<=N && i<K+W;i++{
dp[i] = 1.0
}
dp[K-1] = 1.0 * float64(min(N-K+1, W))/float64(W)
for i:=K-2;i>=0;i--{
dp[i] = dp[i+1] -(dp[i+W+1] -dp[i+1])/float64(W)
}
return dp[0]
}