Miller-Rabin素数检测算法

题外话

一般做题的话,如果数据不是那种又大又分散的情况,一般是用试除法去做

只需预处理出1~ n−−√ n 的素数,一个一个去试除,即可判断一个数是否为素数

费马小定理

a和n互质时, an−1≡1(modn) a n − 1 ≡ 1 ( m o d n )

二次探测定理:

p为一个素数,则 x2≡1(modp) x 2 ≡ 1 ( m o d p ) 在(0,p)范围内的解为x=1或x=p-1

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Miller-Rabin素数检测算法:

此方法使用上面两个定理判断素数,值得注意的是,非素数也有大概25%的概率通过测试,所以呢,你要多测几次,降低错误的概率 (费马只能判断是否互质,二次探测定理也不是充分必要条件)

判断n是否为素数

1. 首先得特判一下2和2以下的数,保证进入到下一步的数为2以上的奇数
2. 令 n−1=u∗2t n − 1 = u ∗ 2 t ,使t尽量大即u为奇数为止
3. 从[2,n-1]中随机取一个数a
4. 令 x=au%n x = a u % n
5. 进行t次循环,使 x=(x∗x)%n x = ( x ∗ x ) % n
6. 结束后 x=an−1%n x = a n − 1 % n

在其中加入检测

• 第5步时,如果 x∗x%n=1 x ∗ x % n = 1 时,解为 x=1||x=n−1 x = 1 | | x = n − 1 ,那么检测正常,否则即n不是质数
• 第6步时,判断x是否为1,不是1则n不是质数

代码:

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
ll ModMul(ll a,ll b,ll n)//快速积取模 a*b%n
{
    ll ans=0;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans=(ans+a)%n;
        a=(a+a)%n;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll ModExp(ll a,ll b,ll n)//快速幂取模 a^b%n
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans=ModMul(ans,a,n);
        a=ModMul(a,a,n);
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
bool miller_rabin(ll n)//Miller-Rabin素数检测算法
{
      ll i,j,a,x,y,t,u,s=10;
      if(n==2)
            return true;
      if(n<2||!(n&1))
            return false;
      for(t=0,u=n-1;!(u&1);t++,u>>=1);//n-1=u*2^t
      for(i=0;i1)+1;
          x=ModExp(a,u,n);
          for(j=0;jif(y==1&&x!=1&&x!=n-1)
                    return false;
              x=y;
          }
          if(x!=1)
                return false;
      }
      return true;
}

int main()
{
    ll n;
    while(scanf("%lld",&n)!=EOF)
        if(miller_rabin(n))
            printf("Yes\n");
        else
            printf("No\n");
    return 0;
}