深入理解朴素贝叶斯（Naive Bayes）
朴素贝叶斯是经典的机器学习算法之一，也是为数不多的基于概率论的分类算法。朴素贝叶斯原理简单，也很容易实现，多用于文本分类，比如垃圾邮件过滤。该算法虽然简单，但是由于笔者不常用，总是看过即忘，这是写这篇博文的初衷。当然，更大的动力来在于跟大家交流，有论述不妥的地方欢迎指正。
1.算法思想——基于概率的预测
逻辑回归通过拟合曲线（或者学习超平面）实现分类，决策树通过寻找最佳划分特征进而学习样本路径实现分类，支持向量机通过寻找分类超平面进而最大化类别间隔实现分类。相比之下，朴素贝叶斯独辟蹊径，通过考虑特征概率来预测分类。举个可能不太恰当的例子：眼前有100个人，好人和坏人个数差不多，现在要用他们来训练一个“坏蛋识别器”。怎么办呢？咱们不管他们干过啥事，只看他们长啥样（这确实不是个恰当的例子）。也就是说，我们在区分好坏人时，只考虑他们的样貌特征。比如说“笑”这个特征，它的取值可能是“甜美的笑”、“儒雅的笑”、“憨厚的笑”、“没心没肺的笑”、“微微一笑”，等等——这都是“好人的笑”；也可以是“阴险的笑”、“不屑的笑”、“色眯眯的笑”、“任我行似的笑”、“冷笑”、“皮笑肉不笑”，等等——这很可能是“坏人的笑”。单就“笑”这个特征来说，一个好人发出“好人的笑”的概率更大，而且频率更高；而坏人则发出“坏人的笑”的概率更大，频率更高（电视上总能看见作奸犯科的人在暗地里发出挨千刀的笑）。当然，好人也有发出坏笑的时候（那种偶像剧里面男猪脚“坏坏的笑”），坏人也有发出好人的笑的时候（想想《不要和陌生人说话》里面的冯远征），这些就都是噪声了。
除了笑之外，这里可用的特征还有纹身，性别等可以考虑。朴素贝叶斯把类似“笑”这样的特征概率化，构成一个“人的样貌向量”以及对应的“好人/坏人标签”，训练出一个标准的“好人模型”和“坏人模型”，这些模型都是各个样貌特征概率构成的。这样，当一个品行未知的人来以后，我们迅速获取ta的样貌特征向量，分布输入“好人模型”和“坏人模型”，得到两个概率值。如果“坏人模型”输出的概率值大一些，那这个人很有可能就是个大坏蛋了。
决策树是怎么办的呢？决策树可能先看性别，因为它发现给定的带标签人群里面男的坏蛋特别多，这个特征眼下最能区分坏蛋和好人，然后按性别把一拨人分成两拨；接着看“笑”这个特征，因为它是接下来最有区分度的特征，然后把两拨人分成四拨；接下来看纹身，，，，最后发现好人要么在田里种地，要么在山上砍柴，要么在学堂读书。而坏人呢，要么在大街上溜达，要么在地下买卖白粉，要么在海里当海盗。这些个有次序的特征就像路上的一个个垫脚石（树的节点）一样，构成通往不同地方的路径（树的枝丫），这些不同路径的目的地（叶子）就是一个类别容器，包含了一类人。一个品行未知的人来了，按照其样貌特征顺序及其对应的特征值，不断走啊走，最后走到了农田或山上，那就是好人；走到了地下或大海，那就是大坏蛋。（这是个看脸的例子，但重点不是“脸”，是“例子”，这真的只是个没有任何偏见的例子）。可以看出来，两种分类模型的原理是很不相同。
2.理论基础——条件概率，词集模型、词袋模型
需要解释的是，为了高效计算，求解P（x，y|C0）时是向量化操作的，因此不会一个个的求解P（xn，yn|C0）。
3.数据预处理——向量化
向量化、矩阵化操作是机器学习的追求。从数学表达式上看，向量化、矩阵化表示更加简洁；在实际操作中，矩阵化（向量是特殊的矩阵）更高效。仍然以侮辱性文档识别为例：
首先，我们需要一张词典，该词典囊括了训练文档集中的所有必要词汇（无用高频词和停用词除外），还需要把每个文档剔除高频词和停用词；
其次，根据词典向量化每个处理后的文档。具体的，每个文档都定义为词典大小，分别遍历某类（侮辱性和非侮辱性）文档中的每个词汇并统计出现次数；最后，得到一个个跟词典一样大小的向量，这些向量有一个个整数组成，每个整数代表了词典上一个对应位置的词在当下文档中的出现频率。
最后，统计每一类处理过的文档中词汇总个数，某一个文档的词频向量除以相应类别的词汇总个数，即得到相应的条件概率，如P（x，y|C0）。有了P（x，y|C0）和P（C0），P（C0|x，y）就得到了，用完全一样的方法可以获得
P（C1|x，y）。比较它们的大小，即可知道某人是不是大坏蛋，某篇文档是不是侮辱性文档了。
4.Python代码解读
- 条件概率：朴素贝叶斯最核心的部分是贝叶斯法则，而贝叶斯法则的基石是条件概率。贝叶斯法则如下：
-
这里的C表示类别，输入待判断数据，式子给出要求解的某一类的概率。我们的最终目的是比较各类别的概率值大小，
而上面式子的分母是不变的，因此只要计算分子即可。仍以“坏蛋识别器”为例。我们用C0表示好人，C1表示坏人，
现在100个人中有60个好人，则P（C0）=0.6，那么P（x，y|C0）怎么求呢？注意，这里的（x，y）是多维的，因为有
60个好人，每个人又有“性别”、“笑”、“纹身”等多个特征，这些构成X，y是标签向量，有60个0和40个1构成。
这里我们假设X的特征之间是独立的，互相不影响，这就是朴素贝叶斯中“朴素”的由来。在假设特征间独立的假设下
，很容易得到P（x，y|C0）=P（x0，y0|C0）P（x1，y1|C0）...P（xn，yn|C0）。然而，P（xn，yn|C0），n=0,1，
...，n如何求呢？有两种情况，涉及到词集模型和词袋模型。接下来我们举个更合适的例子，那就是文本分类。我们
的训练集由正常的文档和侮辱性的文档组成，能反映侮辱性文档的是侮辱性词汇的出现与否以及出现频率。
- 词集模型：对于给定文档，只统计某个侮辱性词汇（准确说是词条）是否在本文档出现
- 词袋模型：对于给定文档，统计某个侮辱性词汇在本文当中出现的频率，除此之外，往往还需要剔除重要性极低的高频词和停用词。因此，词袋模型更精炼，也更有效。
def loadDataSet():
postingList=[['my','dog','has','flea','problem','help','please'],
['maybe','not','take','him','to','dog','park','stupid'],
['my','dalmation','is','so','cute','I','love','him'],
['stop','posting','ate','my','steak','how','to','stop','him'],
['mr','licks','ate','my','steak','how','to','stop','him'],
['quit','buying','worthless','dog','food','stupid']]
classVec=[0,1,0,1,0,1]
return postingList,classVec
#定义一个简单的文本数据集，由6个简单的文本以及对应的标签构成。1表示侮辱性文档，0表示正常文档。
def createVocabList(dataSet):
vocabSet=set([])
for document in dataSet:
vocabSet=vocabSet|set(document)
return list(vocabSet)
def setOfWords2Vec(vocabList,inputSet):
returnVec=[0]*len(vocabList) #每个文档的大小与词典保持一致，此时returnVec是空表
for word in inputSet:
if word in vocabList:
returnVec[vocabList.index(word)]=1 #当前文档中有某个词条，则根据词典获取其位置并赋值1
else:print "the word :%s is not in my vocabulary" %word
return returnVec
def bagOfWords2Vec(vocabList,inputSet):
returnVec=[0]*len(vocabList)
for word in inputSet:
if word in vocabList:
returnVec[vocabList.index(word)]+=1 # 与词集模型的唯一区别就表现在这里
else:print "the word :%s is not in my vocabulary" %word
return returnVec
#### 文档向量化，这里是词袋模型，不知关心某个词条出现与否，还考虑该词条在本文档中的出现频率
def trainNB(trainMatrix,trainCategory):
numTrainDocs=len(trainMatrix)
numWords=len(trainMatrix[0])
pAbusive=sum(trainCategory)/float(numTrainDocs) #统计侮辱性文档的总个数，然后除以总文档个数
#p0Num=zeros(numWords);p1Num=zeros(numWords) # 把属于同一类的文本向量加起来
#p0Denom=0.0;p1Denom=0.0
p0Num=ones(numWords);p1Num=ones(numWords)
p0Denom=2.0;p1Denom=2.0
for i in range(numTrainDocs):
if trainCategory[i]==1:
p1Num+=trainMatrix[i]#把属于同一类的文本向量相加，实质是统计某个词条在该类文本中出现频率
p1Denom+=sum(trainMatrix[i]) #把侮辱性文档向量的所有元素加起来
else:
p0Num+=trainMatrix[i]
p0Denom+=sum(trainMatrix[i])
#p1Vec=p1Num/float(p1Denom)
#p0Vec=p0Num/float(p0Denom)
p1Vec=log(p1Num/p1Denom) #统计词典中所有词条在侮辱性文档中出现的概率
p0Vec=log(p0Num/p0Denom) #统计词典中所有词条在正常文档中出现的概率
return pAbusive,p1Vec,p0Vec
#### 训练生成朴素贝叶斯模型，实质上相当于是计算P（x，y|Ci）P（Ci）的权重。
### 注意：被注释掉的代码代表不太好的初始化方式，在那种情况下某些词条的概率值可能会非常非常小，甚至约
###等于0，那么在不同词条的概率在相乘时结果就近似于0
def classifyNB(vec2classify,p0Vec,p1Vec,pClass1): # 参数1是测试文档向量，参数2和参数3是词条在各个
#类别中出现的概率，参数4是P（C1）
p1=sum(vec2classify*p1Vec)+log(pClass1) # 这里没有直接计算P（x，y|C1）P（C1），而是取其对数
#这样做也是防止概率之积太小，以至于为0
p0=sum(vec2classify*p0Vec)+log(1.0-pClass1) #取对数后虽然P（C1|x，y）和P(C0|x，y)的值变了，但是
#不影响它们的大小关系。
if p1>p0:
return 1
else:
return 0
5.总结
- 不同于其它分类器，朴素贝叶斯是一种基于概率理论的分类算法；
- 特征之间的条件独立性假设，显然这种假设显得“粗鲁”而不符合实际，这也是名称中“朴素”的由来。然而事实证明，朴素贝叶斯在有些领域很有用，比如垃圾邮件过滤；
- 在具体的算法实施中，要考虑很多实际问题。比如因为“下溢”问题，需要对概率乘积取对数；再比如词集模型和词袋模型，还有停用词和无意义的高频词的剔除，以及大量的数据预处理问题，等等；
- 总体上来说，朴素贝叶斯原理和实现都比较简单，学习和预测的效率都很高，是一种经典而常用的分类算法。