PR算法

前言

Google搜索，早已成为我每天必用的工具，无数次惊叹它搜索结果的准确性。同时，我也在做Google的SEO，推广自己的博客。经过几个月尝试，我的博客PR到2了，外链也有几万个了。总结下来，还是感叹PageRank的神奇！

改变世界的算法，PageRank！

目录

1. PageRank算法介绍
2. PageRank算法原理
3. PageRank算法的R语言实现

1. PageRank算法介绍

PageRank是Google专有的算法，用于衡量特定网页相对于搜索引擎索引中的其他网页而言的重要程度。它由Larry Page 和 Sergey Brin在20世纪90年代后期发明。PageRank实现了将链接价值概念作为排名因素。

PageRank让链接来”投票”

一个页面的“得票数”由所有链向它的页面的重要性来决定，到一个页面的超链接相当于对该页投一票。一个页面的PageRank是由所有链向它的页面（“链入页面”）的重要性经过递归算法得到的。一个有较多链入的页面会有较高的等级，相反如果一个页面没有任何链入页面，那么它没有等级。

简单一句话概括：从许多优质的网页链接过来的网页，必定还是优质网页。

PageRank的计算基于以下两个基本假设：

• 数量假设：如果一个页面节点接收到的其他网页指向的入链数量越多，那么这个页面越重要
• 质量假设：指向页面A的入链质量不同，质量高的页面会通过链接向其他页面传递更多的权重。所以越是质量高的页面指向页面A，则页面A越重要。

要提高PageRank有3个要点：

• 反向链接数
• 反向链接是否来自PageRank较高的页面
• 反向链接源页面的链接数

2. PageRank算法原理

在初始阶段：网页通过链接关系构建起有向图，每个页面设置相同的PageRank值，通过若干轮的计算，会得到每个页面所获得的最终PageRank值。随着每一轮的计算进行，网页当前的PageRank值会不断得到更新。

在一轮更新页面PageRank得分的计算中，每个页面将其当前的PageRank值平均分配到本页面包含的出链上，这样每个链接即获得了相应的权值。而每个页面将所有指向本页面的入链所传入的权值求和，即可得到新的PageRank得分。当每个页面都获得了更新后的PageRank值，就完成了一轮PageRank计算。

1). 算法原理

PageRank算法建立在随机冲浪者模型上，其基本思想是：网页的重要性排序是由网页间的链接关系所决定的，算法是依靠网页间的链接结构来评价每个页面的等级和重要性，一个网页的PR值不仅考虑指向它的链接网页数，还有指向’指向它的网页的其他网页本身的重要性。

PageRank具有两大特性：

• PR值的传递性：网页A指向网页B时，A的PR值也部分传递给B
• 重要性的传递性：一个重要网页比一个不重要网页传递的权重要多

2). 计算公式：

• PR(pi): pi页面的PageRank值
• n: 所有页面的数量
• pi: 不同的网页p1,p2,p3
• M(i): pi链入网页的集合
• L(j): pj链出网页的数量
• d:阻尼系数, 任意时刻，用户到达某页面后并继续向后浏览的概率。
  (1-d=0.15) :表示用户停止点击，随机跳到新URL的概率
  取值范围: 0 < d ≤ 1, Google设为0.85

3). 构造实例：以4个页面的数据为例

图片说明：

• ID=1的页面链向2,3,4页面，所以一个用户从ID=1的页面跳转到2,3,4的概率各为1/3
• ID=2的页面链向3,4页面，所以一个用户从ID=2的页面跳转到3,4的概率各为1/2
• ID=3的页面链向4页面，所以一个用户从ID=3的页面跳转到4的概率各为1
• ID=4的页面链向2页面，所以一个用户从ID=4的页面跳转到2的概率各为1

构造邻接表：

链接源页面     链接目标页面
    1             2,3,4
    2             3,4
    3             4
    4             2

构造邻接矩阵(方阵):

• 列：源页面
• 行：目标页面

     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    0    0    0    0
[2,]    1    0    0    1
[3,]    1    1    0    0
[4,]    1    1    1    0

转换为概率矩阵(转移矩阵)

     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 0      0    0    0
[2,] 1/3    0    0    1
[3,] 1/3  1/2    0    0
[4,] 1/3  1/2    1    0

通过链接关系，我们就构造出了“转移矩阵”。

PageRank的分步式算法原理，简单来讲，就是通过矩阵计算实现并行化。

1). 把邻接矩阵的列，按数据行存储

邻接矩阵

          [,1]   [,2]   [,3]   [,4]
[1,] 0.0375000 0.0375 0.0375 0.0375
[2,] 0.3208333 0.0375 0.0375 0.8875
[3,] 0.3208333 0.4625 0.0375 0.0375
[4,] 0.3208333 0.4625 0.8875 0.0375

按行存储HDFS

1       0.037499994,0.32083333,0.32083333,0.32083333
2       0.037499994,0.037499994,0.4625,0.4625
3       0.037499994,0.037499994,0.037499994,0.88750005
4       0.037499994,0.88750005,0.037499994,0.037499994

2). 迭代：求矩阵特征值

map过程：

• input: 邻接矩阵, pr值
• output: key为pr的行号，value为邻接矩阵和pr值的乘法求和公式

reduce过程：

• input: key为pr的行号，value为邻接矩阵和pr值的乘法求和公式
• output: key为pr的行号, value为计算的结果，即pr值

第1次迭代

0.0375000 0.0375 0.0375 0.0375     1     0.150000
0.3208333 0.0375 0.0375 0.8875  *  1  =  1.283333
0.3208333 0.4625 0.0375 0.0375     1     0.858333
0.3208333 0.4625 0.8875 0.0375     1     1.708333

第2次迭代

0.0375000 0.0375 0.0375 0.0375     0.150000      0.150000
0.3208333 0.0375 0.0375 0.8875  *  1.283333  =   1.6445833
0.3208333 0.4625 0.0375 0.0375     0.858333      0.7379167
0.3208333 0.4625 0.8875 0.0375     1.708333      1.4675000

… 10次迭代

特征值

0.1500000
1.4955721
0.8255034
1.5289245

3). 标准化PR值

0.150000                                              0.0375000
1.4955721  / (0.15+1.4955721+0.8255034+1.5289245) =   0.3738930
0.8255034                                             0.2063759
1.5289245                                             0.3822311

2. MapReduce分步式编程

MapReduce流程分解

HDFS目录

• input(/user/hdfs/pagerank): HDFS的根目录
• input_pr(/user/hdfs/pagerank/pr): 临时目录，存储中间结果PR值
• tmp1(/user/hdfs/pagerank/tmp1):临时目录，存储邻接矩阵
• tmp2(/user/hdfs/pagerank/tmp2):临时目录，迭代计算PR值，然后保存到input_pr
• result(/user/hdfs/pagerank/result): PR值输出结果

开发步骤:

• 网页链接关系数据: page.csv
• 出始的PR数据:pr.csv
• 邻接矩阵: AdjacencyMatrix.java
• PageRank计算: PageRank.java
• PR标准化: Normal.java
• 启动程序: PageRankJob.java

1). 网页链接关系数据: page.csv

新建文件:page.csv

1,2
1,3
1,4
2,3
2,4
3,4
4,2

2). 出始的PR数据:pr.csv

设置网页的初始值都是1

新建文件：pr.csv

1,1
2,1
3,1
4,1

3). 邻接矩阵: AdjacencyMatrix.java

矩阵解释：

• 阻尼系数为0.85
• 页面数为4
• reduce以行输出矩阵的列，输出列主要用于分步式存储，下一步需要转成行

新建程序:AdjacencyMatrix.java

package org.conan.myhadoop.pagerank;

import java.io.IOException;
import java.util.Arrays;
import java.util.Map;

import org.apache.hadoop.fs.Path;
import org.apache.hadoop.io.LongWritable;
import org.apache.hadoop.io.Text;
import org.apache.hadoop.mapred.JobConf;
import org.apache.hadoop.mapreduce.Job;
import org.apache.hadoop.mapreduce.Mapper;
import org.apache.hadoop.mapreduce.Reducer;
import org.apache.hadoop.mapreduce.lib.input.FileInputFormat;
import org.apache.hadoop.mapreduce.lib.input.TextInputFormat;
import org.apache.hadoop.mapreduce.lib.output.FileOutputFormat;
import org.apache.hadoop.mapreduce.lib.output.TextOutputFormat;
import org.conan.myhadoop.hdfs.HdfsDAO;

public class AdjacencyMatrix {

    private static int nums = 4;// 页面数
    private static float d = 0.85f;// 阻尼系数

    public static class AdjacencyMatrixMapper extends Mapper {

        @Override
        public void map(LongWritable key, Text values, Context context) throws IOException, InterruptedException {
            System.out.println(values.toString());
            String[] tokens = PageRankJob.DELIMITER.split(values.toString());
            Text k = new Text(tokens[0]);
            Text v = new Text(tokens[1]);
            context.write(k, v);
        }
    }

    public static class AdjacencyMatrixReducer extends Reducer {

        @Override
        public void reduce(Text key, Iterable values, Context context) throws IOException, InterruptedException {
            float[] G = new float[nums];// 概率矩阵列
            Arrays.fill(G, (float) (1 - d) / G.length);

            float[] A = new float[nums];// 近邻矩阵列
            int sum = 0;// 链出数量
            for (Text val : values) {
                int idx = Integer.parseInt(val.toString());
                A[idx - 1] = 1;
                sum++;
            }

            if (sum == 0) {// 分母不能为0
                sum = 1;
            }

            StringBuilder sb = new StringBuilder();
            for (int i = 0; i < A.length; i++) {
                sb.append("," + (float) (G[i] + d * A[i] / sum));
            }

            Text v = new Text(sb.toString().substring(1));
            System.out.println(key + ":" + v.toString());
            context.write(key, v);
        }
    }

    public static void run(Map path) throws IOException, InterruptedException, ClassNotFoundException {
        JobConf conf = PageRankJob.config();

        String input = path.get("input");
        String input_pr = path.get("input_pr");
        String output = path.get("tmp1");
        String page = path.get("page");
        String pr = path.get("pr");

        HdfsDAO hdfs = new HdfsDAO(PageRankJob.HDFS, conf);
        hdfs.rmr(input);
        hdfs.mkdirs(input);
        hdfs.mkdirs(input_pr);
        hdfs.copyFile(page, input);
        hdfs.copyFile(pr, input_pr);

        Job job = new Job(conf);
        job.setJarByClass(AdjacencyMatrix.class);

        job.setOutputKeyClass(Text.class);
        job.setOutputValueClass(Text.class);

        job.setMapperClass(AdjacencyMatrixMapper.class);
        job.setReducerClass(AdjacencyMatrixReducer.class);

        job.setInputFormatClass(TextInputFormat.class);
        job.setOutputFormatClass(TextOutputFormat.class);

        FileInputFormat.setInputPaths(job, new Path(page));
        FileOutputFormat.setOutputPath(job, new Path(output));

        job.waitForCompletion(true);
    }
}

4). PageRank计算: PageRank.java

矩阵解释:

• 实现邻接与PR矩阵的乘法
• map以邻接矩阵的行号为key，由于上一步是输出的是列，所以这里需要转成行
• reduce计算得到未标准化的特征值

新建文件: PageRank.java

package org.conan.myhadoop.pagerank;

import java.io.IOException;
import java.util.HashMap;
import java.util.Iterator;
import java.util.Map;

import org.apache.hadoop.fs.Path;
import org.apache.hadoop.io.LongWritable;
import org.apache.hadoop.io.Text;
import org.apache.hadoop.mapred.JobConf;
import org.apache.hadoop.mapreduce.Job;
import org.apache.hadoop.mapreduce.Mapper;
import org.apache.hadoop.mapreduce.Reducer;
import org.apache.hadoop.mapreduce.lib.input.FileInputFormat;
import org.apache.hadoop.mapreduce.lib.input.FileSplit;
import org.apache.hadoop.mapreduce.lib.input.TextInputFormat;
import org.apache.hadoop.mapreduce.lib.output.FileOutputFormat;
import org.apache.hadoop.mapreduce.lib.output.TextOutputFormat;
import org.conan.myhadoop.hdfs.HdfsDAO;

public class PageRank {

    public static class PageRankMapper extends Mapper {

        private String flag;// tmp1 or result
        private static int nums = 4;// 页面数

        @Override
        protected void setup(Context context) throws IOException, InterruptedException {
            FileSplit split = (FileSplit) context.getInputSplit();
            flag = split.getPath().getParent().getName();// 判断读的数据集
        }

        @Override
        public void map(LongWritable key, Text values, Context context) throws IOException, InterruptedException {
            System.out.println(values.toString());
            String[] tokens = PageRankJob.DELIMITER.split(values.toString());

            if (flag.equals("tmp1")) {
                String row = values.toString().substring(0,1);
                String[] vals = PageRankJob.DELIMITER.split(values.toString().substring(2));// 矩阵转置
                for (int i = 0; i < vals.length; i++) {
                    Text k = new Text(String.valueOf(i + 1));
                    Text v = new Text(String.valueOf("A:" + (row) + "," + vals[i]));
                    context.write(k, v);
                }

            } else if (flag.equals("pr")) {
                for (int i = 1; i <= nums; i++) {
                    Text k = new Text(String.valueOf(i));
                    Text v = new Text("B:" + tokens[0] + "," + tokens[1]);
                    context.write(k, v);
                }
            }
        }
    }

    public static class PageRankReducer extends Reducer {

        @Override
        public void reduce(Text key, Iterable values, Context context) throws IOException, InterruptedException {
            Map mapA = new HashMap();
            Map mapB = new HashMap();
            float pr = 0f;

            for (Text line : values) {
                System.out.println(line);
                String vals = line.toString();

                if (vals.startsWith("A:")) {
                    String[] tokenA = PageRankJob.DELIMITER.split(vals.substring(2));
                    mapA.put(Integer.parseInt(tokenA[0]), Float.parseFloat(tokenA[1]));
                }

                if (vals.startsWith("B:")) {
                    String[] tokenB = PageRankJob.DELIMITER.split(vals.substring(2));
                    mapB.put(Integer.parseInt(tokenB[0]), Float.parseFloat(tokenB[1]));
                }
            }

            Iterator iterA = mapA.keySet().iterator();
            while(iterA.hasNext()){
                int idx = iterA.next();
                float A = mapA.get(idx);
                float B = mapB.get(idx);
                pr += A * B;
            }

            context.write(key, new Text(PageRankJob.scaleFloat(pr)));
            // System.out.println(key + ":" + PageRankJob.scaleFloat(pr));
        }

    }

    public static void run(Map path) throws IOException, InterruptedException, ClassNotFoundException {
        JobConf conf = PageRankJob.config();

        String input = path.get("tmp1");
        String output = path.get("tmp2");
        String pr = path.get("input_pr");

        HdfsDAO hdfs = new HdfsDAO(PageRankJob.HDFS, conf);
        hdfs.rmr(output);

        Job job = new Job(conf);
        job.setJarByClass(PageRank.class);

        job.setOutputKeyClass(Text.class);
        job.setOutputValueClass(Text.class);

        job.setMapperClass(PageRankMapper.class);
         job.setReducerClass(PageRankReducer.class);

        job.setInputFormatClass(TextInputFormat.class);
        job.setOutputFormatClass(TextOutputFormat.class);

        FileInputFormat.setInputPaths(job, new Path(input), new Path(pr));
        FileOutputFormat.setOutputPath(job, new Path(output));

        job.waitForCompletion(true);

        hdfs.rmr(pr);
        hdfs.rename(output, pr);
    }
}

5). PR标准化: Normal.java

矩阵解释:

• 对PR的计算结果标准化，让所以PR值落在(0,1)区间

新建文件：Normal.java

package org.conan.myhadoop.pagerank;

import java.io.IOException;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Map;

import org.apache.hadoop.fs.Path;
import org.apache.hadoop.io.LongWritable;
import org.apache.hadoop.io.Text;
import org.apache.hadoop.mapred.JobConf;
import org.apache.hadoop.mapreduce.Job;
import org.apache.hadoop.mapreduce.Mapper;
import org.apache.hadoop.mapreduce.Reducer;
import org.apache.hadoop.mapreduce.lib.input.FileInputFormat;
import org.apache.hadoop.mapreduce.lib.input.TextInputFormat;
import org.apache.hadoop.mapreduce.lib.output.FileOutputFormat;
import org.apache.hadoop.mapreduce.lib.output.TextOutputFormat;
import org.conan.myhadoop.hdfs.HdfsDAO;

public class Normal {

    public static class NormalMapper extends Mapper {

        Text k = new Text("1");

        @Override
        public void map(LongWritable key, Text values, Context context) throws IOException, InterruptedException {
            System.out.println(values.toString());
            context.write(k, values);
        }
    }

    public static class NormalReducer extends Reducer {

        @Override
        public void reduce(Text key, Iterable values, Context context) throws IOException, InterruptedException {

            List vList = new ArrayList();

            float sum = 0f;
            for (Text line : values) {
                vList.add(line.toString());

                String[] vals = PageRankJob.DELIMITER.split(line.toString());
                float f = Float.parseFloat(vals[1]);
                sum += f;
            }

            for (String line : vList) {
                String[] vals = PageRankJob.DELIMITER.split(line.toString());
                Text k = new Text(vals[0]);

                float f = Float.parseFloat(vals[1]);
                Text v = new Text(PageRankJob.scaleFloat((float) (f / sum)));
                context.write(k, v);

                System.out.println(k + ":" + v);
            }
        }
    }

    public static void run(Map path) throws IOException, InterruptedException, ClassNotFoundException {
        JobConf conf = PageRankJob.config();

        String input = path.get("input_pr");
        String output = path.get("result");

        HdfsDAO hdfs = new HdfsDAO(PageRankJob.HDFS, conf);
        hdfs.rmr(output);

        Job job = new Job(conf);
        job.setJarByClass(Normal.class);

        job.setOutputKeyClass(Text.class);
        job.setOutputValueClass(Text.class);

        job.setMapperClass(NormalMapper.class);
        job.setReducerClass(NormalReducer.class);

        job.setInputFormatClass(TextInputFormat.class);
        job.setOutputFormatClass(TextOutputFormat.class);

        FileInputFormat.setInputPaths(job, new Path(input));
        FileOutputFormat.setOutputPath(job, new Path(output));

        job.waitForCompletion(true);
    }
}

6). 启动程序: PageRankJob.java

新建文件：PageRankJob.java

package org.conan.myhadoop.pagerank;

import java.text.DecimalFormat;
import java.util.HashMap;
import java.util.Map;
import java.util.regex.Pattern;

import org.apache.hadoop.mapred.JobConf;

public class PageRankJob {

    public static final String HDFS = "hdfs://192.168.1.210:9000";
    public static final Pattern DELIMITER = Pattern.compile("[\t,]");

    public static void main(String[] args) {
        Map path = new HashMap();
        path.put("page", "logfile/pagerank/page.csv");// 本地的数据文件
        path.put("pr", "logfile/pagerank/pr.csv");// 本地的数据文件

        path.put("input", HDFS + "/user/hdfs/pagerank");// HDFS的目录
        path.put("input_pr", HDFS + "/user/hdfs/pagerank/pr");// pr存储目
        path.put("tmp1", HDFS + "/user/hdfs/pagerank/tmp1");// 临时目录,存放邻接矩阵
        path.put("tmp2", HDFS + "/user/hdfs/pagerank/tmp2");// 临时目录,计算到得PR,覆盖input_pr

        path.put("result", HDFS + "/user/hdfs/pagerank/result");// 计算结果的PR

        try {

            AdjacencyMatrix.run(path);
            int iter = 3;
            for (int i = 0; i < iter; i++) {// 迭代执行
                PageRank.run(path);
            }
            Normal.run(path);

        } catch (Exception e) {
            e.printStackTrace();
        }
        System.exit(0);
    }

    public static JobConf config() {// Hadoop集群的远程配置信息
        JobConf conf = new JobConf(PageRankJob.class);
        conf.setJobName("PageRank");
        conf.addResource("classpath:/hadoop/core-site.xml");
        conf.addResource("classpath:/hadoop/hdfs-site.xml");
        conf.addResource("classpath:/hadoop/mapred-site.xml");
        return conf;
    }

    public static String scaleFloat(float f) {// 保留6位小数
        DecimalFormat df = new DecimalFormat("##0.000000");
        return df.format(f);
    }
}

转自  http://blog.csdn.net/whkjlcw/article/details/20157415

1. PageRank算法概述

         PageRank,即网页排名，又称网页级别、Google左侧排名或佩奇排名。

        是Google创始人拉里·佩奇和谢尔盖·布林于1997年构建早期的搜索系统原型时提出的链接分析算法，自从Google在商业上获得空前的成功后，该算法也成为其他搜索引擎和学术界十分关注的计算模型。目前很多重要的链接分析算法都是在PageRank算法基础上衍生出来的。PageRank是Google用于用来标识网页的等级/重要性的一种方法，是Google用来衡量一个网站的好坏的唯一标准。在揉合了诸如Title标识和Keywords标识等所有其它因素之后，Google通过PageRank来调整结果，使那些更具“等级/重要性”的网页在搜索结果中另网站排名获得提升，从而提高搜索结果的相关性和质量。其级别从0到10级，10级为满分。PR值越高说明该网页越受欢迎（越重要）。例如：一个PR值为1的网站表明这个网站不太具有流行度，而PR值为7到10则表明这个网站非常受欢迎（或者说极其重要）。一般PR值达到4，就算是一个不错的网站了。Google把自己的网站的PR值定到10，这说明Google这个网站是非常受欢迎的，也可以说这个网站非常重要。

 

2. 从入链数量到 PageRank

        在PageRank提出之前，已经有研究者提出利用网页的入链数量来进行链接分析计算，这种入链方法假设一个网页的入链越多，则该网页越重要。早期的很多搜索引擎也采纳了入链数量作为链接分析方法，对于搜索引擎效果提升也有较明显的效果。 PageRank除了考虑到入链数量的影响，还参考了网页质量因素，两者相结合获得了更好的网页重要性评价标准。 对于某个互联网网页A来说，该网页PageRank的计算基于以下两个基本假设：       数量假设：在Web图模型中，如果一个页面节点接收到的其他网页指向的入链数量越多，那么这个页面越重要。      质量假设：指向页面A的入链质量不同，质量高的页面会通过链接向其他页面传递更多的权重。所以越是质量高的页面指向页面A，则页面A越重要。        利用以上两个假设，PageRank算法刚开始赋予每个网页相同的重要性得分，通过迭代递归计算来更新每个页面节点的PageRank得分，直到得分稳定为止。 PageRank计算得出的结果是网页的重要性评价，这和用户输入的查询是没有任何关系的，即算法是主题无关的。假设有一个搜索引擎，其相似度计算函数不考虑内容相似因素，完全采用PageRank来进行排序，那么这个搜索引擎的表现是什么样子的呢？这个搜索引擎对于任意不同的查询请求，返回的结果都是相同的，即返回PageRank值最高的页面。

 

3. PageRank算法原理

      PageRank的计算充分利用了两个假设：数量假设和质量假设。步骤如下：       1）在初始阶段：网页通过链接关系构建起Web图，每个页面设置相同的PageRank值，通过若干轮的计算，会得到每个页面所获得的最终PageRank值。随着每一轮的计算进行，网页当前的PageRank值会不断得到更新。

      2）在一轮中更新页面PageRank得分的计算方法：在一轮更新页面PageRank得分的计算中，每个页面将其当前的PageRank值平均分配到本页面包含的出链上，这样每个链接即获得了相应的权值。而每个页面将所有指向本页面的入链所传入的权值求和，即可得到新的PageRank得分。当每个页面都获得了更新后的PageRank值，就完成了一轮PageRank计算。 

 

3.2 基本思想：

       如果网页T存在一个指向网页A的连接，则表明T的所有者认为A比较重要，从而把T的一部分重要性得分赋予A。这个重要性得分值为：PR（T）/L(T)

　    其中PR（T）为T的PageRank值，L(T)为T的出链数

        则A的PageRank值为一系列类似于T的页面重要性得分值的累加。

        即一个页面的得票数由所有链向它的页面的重要性来决定，到一个页面的超链接相当于对该页投一票。一个页面的PageRank是由所有链向它的页面（链入页面）的重要性经过递归算法得到的。一个有较多链入的页面会有较高的等级，相反如果一个页面没有任何链入页面，那么它没有等级。

3.3 PageRank简单计算：

       假设一个由只有4个页面组成的集合：A，B，C和D。如果所有页面都链向A，那么A的PR（PageRank）值将是B，C及D的和。

       

       继续假设B也有链接到C，并且D也有链接到包括A的3个页面。一个页面不能投票2次。所以B给每个页面半票。以同样的逻辑，D投出的票只有三分之一算到了A的PageRank上。

       

      换句话说，根据链出总数平分一个页面的PR值。

       

例子：

        如图1 所示的例子来说明PageRank的具体计算过程。  

                           

       

 

3.4  修正PageRank计算公式：

         由于存在一些出链为0，也就是那些不链接任何其他网页的网， 也称为孤立网页，使得很多网页能被访问到。因此需要对 PageRank公式进行修正，即在简单公式的基础上增加了阻尼系数（damping factor）q， q一般取值q=0.85。

      其意义是，在任意时刻，用户到达某页面后并继续向后浏览的概率。 1- q= 0.15就是用户停止点击，随机跳到新URL的概率）的算法被用到了所有页面上，估算页面可能被上网者放入书签的概率。

      最后，即所有这些被换算为一个百分比再乘上一个系数q。由于下面的算法，没有页面的PageRank会是0。所以，Google通过数学系统给了每个页面一个最小值。

      

     这个公式就是.S Brin 和 L. Page 在《The Anatomy of a Large- scale Hypertextual Web Search Engine Computer Networks and ISDN Systems 》定义的公式。

     所以一个页面的PageRank是由其他页面的PageRank计算得到。Google不断的重复计算每个页面的PageRank。如果给每个页面一个随机PageRank值（非0），那么经过不断的重复计算，这些页面的PR值会趋向于正常和稳定。这就是搜索引擎使用它的原因。

 

4. PageRank幂法计算(线性代数应用)

4.1 完整公式：

关于这节内容，可以查阅：谷歌背后的数学

首先求完整的公式：

Arvind Arasu 在《Junghoo Cho Hector Garcia - Molina, Andreas Paepcke, Sriram Raghavan. Searching the Web》 更加准确的表达为：

 

是被研究的页面，是链入页面的数量，是链出页面的数量，而N是所有页面的数量。

PageRank值是一个特殊矩阵中的特征向量。这个特征向量为：

 

R是如下等式的一个解：

如果网页i有指向网页j的一个链接，则

否则＝0。

4.2 使用幂法求PageRank

      那我们PageRank 公式可以转换为求解的值，

      其中矩阵为 A = q  × P + ( 1 一 q) *  /N 。 P 为概率转移矩阵，为 n  维的全 1 行. 则 =

      

     幂法计算过程如下：       X  设任意一个初始向量, 即设置初始每个网页的 PageRank值均。一般为1.

     R = AX;

     while  (1 )(

            if ( l X - R I  <  ) { //如果最后两次的结果近似或者相同，返回R

                  return R;

           }    else   {

                X =R;

               R = AX;

         }

    }

4.3 求解步骤：

一、 P概率转移矩阵的计算过程:

        先建立一个网页间的链接关系的模型,即我们需要合适的数据结构表示页面间的连接关系。

      1) 首先我们使用图的形式来表述网页之间关系：

       现在假设只有四张网页集合：A、B、C，其抽象结构如下图1：

        

                                     图1 网页间的链接关系

      显然这个图是强连通的（从任一节点出发都可以到达另外任何一个节点）。

      2）我们用矩阵表示连通图：

       用邻接矩阵 P表示这个图中顶点关系 ，如果顶（页面）i向顶点（页面）j有链接情况 ，则pij   =   1 ，否则pij   =   0 。如图2所示。如果网页文件总数为N ， 那么这个网页链接矩阵就是一个N x N  的矩 阵 。 

      3）网页链接概率矩阵

       然后将每一行除以该行非零数字之和，即（每行非0数之和就是链接网个数）则得到新矩阵P’，如图3所示。 这个矩阵记录了 每个网页跳转到其他网页的概率，即其中i行j列的值表示用户从页面i 转到页面j的概率。图1 中A页面链向B、C，所以一个用户从A跳转到B、C的概率各为1/2。

      4）概率转移矩阵P

       采用P’ 的转置矩 阵进行计算， 也就是上面提到的概率转移矩阵P 。  如图4所示：

     

            

         图2  网页链接矩阵：                                      图3  网页链接概率矩阵：  

 

 

                         图4  P’ 的转置矩 阵

 

二、 A矩阵计算过程。

      1）P概率转移矩阵  :

       

      2）/N 为：

     

      3）A矩阵为：q  × P + ( 1 一 q) *  /N = 0.85  × P + 0.15  * /N

     

      初始每个网页的 PageRank值均为1 ， 即X~t = ( 1 ， 1 ， 1 ) 。 

三、 循环迭代计算PageRank的过程

       第一步：

       

          因为X 与R的差别较大。 继续迭代。

          第二步：

           

       继续迭代这个过程...

      直到最后两次的结果近似或者相同，即R最终收敛，R 约等于X，此时计算停止。最终的R 就是各个页面的 PageRank 值。

用幂法计算PageRank 值总是收敛的，即计算的次数是有限的。

 

      Larry Page和Sergey Brin 两人从理论上证明了不论初始值如何选取，这种算法都保证了网页排名的估计值能收敛到他们的真实值。

      由于互联网上网页的数量是巨大的，上面提到的二维矩阵从理论上讲有网页数目平方之多个元素。如果我们假定有十亿个网页，那么这个矩阵 就有一百亿亿个元素。这样大的矩阵相乘，计算量是非常大的。Larry Page和Sergey Brin两人利用稀疏矩阵计算的技巧，大大的简化了计算量。

 

5. PageRank算法优缺点

优点：

        是一个与查询无关的静态算法，所有网页的PageRank值通过离线计算获得；有效减少在线查询时的计算量，极大降低了查询响应时间。

缺点：

       1）人们的查询具有主题特征，PageRank忽略了主题相关性，导致结果的相关性和主题性降低

        2）旧的页面等级会比新页面高。因为即使是非常好的新页面也不会有很多上游链接，除非它是某个站点的子站点。