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浅谈上下界网络流

背景

最近一直在做这类题目……
感觉题目变化还是挺多的
就在这里总结一下好了……

首先Orz Lynstery
本文参考博客：有上下界的网络流学习笔记——by liu_runda

正文

上下界网络流，显然就是对每条边有上下界流量限制的网络流问题
众人：这不废话嘛
对于上下界网络流问题，最重要的思想是“转化”
因为学习后你会发现：处理每一种情形都是要由前一种更为简单的情形转化过来，然后用同样的方法处理
所以一道题目可能会转化很多次，才能下手

上下界网络流一般可分为以下几种：

无源汇上下界可行流

RT，只要找到一个可行解即可
这种模型最大的特点是无源无汇、无始无终，不断循环的一个过程
此时笔者不禁想到了这幅名画：
浅谈上下界网络流_第1张图片

好了扯远了，我们来考虑一下如何处理该问题：

首先，因为我们所有边的流量不得小于其下界，我们将所有边的流量都设为其下界
然后构建另一套图，即原图的残量网络
因为已经减去当前流量（下界），所以新图就转化成了普通网络流，非常方便

可是，仅仅这样的话很可能不是一个可行解
因为这个流不满足流量守恒
即：一个点进入的流量与出来的流量不等

此时我们需要构建虚拟源点SS，虚拟汇点TT
若i点原来 入>出，则SS向i连一条容量为其差值的边
若i点原来 出>入，则i向TT连一条容量为其差值的边
因为一条边最终流量等于 下界+新图对应流量，原来流量不平衡的点需要用虚拟源汇来补偿流量

因为当且仅当SS的所有连边都满流时有解
所以刷SS到TT的最大流即可
前面提过，一条边最终流量等于 下界+新图对应流量，根据这个可以求一些题目的答案

有源汇上下界可行流

（给定源汇是S和T，虚拟源汇是SS和TT，不要混淆起来！）
考虑连一条T到S的无限制的边
那么有源汇就转化成了无源汇

值得一提的是，如果想要知道可行流的流量，可以直接看T到S那条新加边的流量（根据流量守恒）

有源汇上下界最大流

先刷出一个可行流
如果有解，那么SS的所有边都满流了，也就完成了它的使命
接下来只需要刷S到T的最大流即可
（接下来S到T不管怎么变，都影响不了SS的出边，所以一直是满足流量守恒的）
（而且这是残量网络，不用考虑会突破下界）
不过我个人还是习惯把SS，TT的所有边以及T到S的那条边删去，这样感觉清爽一点

答案是可行流流量+S到T最大流流量

有源汇上下界最小流

还是要先刷出可行流
和最大流一样的道理，此时需要把S到T的流量尽量减小
可是……可是好像没有这种操作啊（脸红
考虑反向弧的本质：反向弧增加意味着正向弧减少
所以刷T到S的最大流

答案是可行流流量-T到S最大流流量

例题

这几天A的题目……
BZOJ2406
BZOJ2502
ZOJ2314

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