浅谈欧拉函数

前言

欧拉函数听起来很高大上，但其实非常简单，也是NOIP里的一个基础知识，希望大家看完我的博客能有所理解。
数论是数学的一个分支，它只讨论正整数的性质，所以以下都是针对正整数进行研究的。

什么是欧拉函数

欧拉函数是小于x的整数中与x互质的数的个数，一般用φ(x)表示。特殊的，φ(1)=1。

如何计算欧拉函数

通式： φ(x)=x${\prod }_{i=1}^n(1-\frac{1}{p_i})$
φ(1)=1
其中$p_1$, $p_2$……$p_n$为x的所有质因数，x是正整数。
那么，怎么理解这个公式呢？对于x的一个质因数$p_i$，因为x以内$p_i$的倍数是均匀分布的，所以x以内有$\frac{1}{p_i}$的数是$p_i$的倍数，那么有1-$\frac{1}{p_i}$的数不是$p_i$的倍数。再对于$p_j$，同理，有1-$\frac{1}{p_j}$的数不是$p_j$的倍数，所以有$(1-\frac{1}{p_i})\ast (1-\frac{1}{p_j})$的数既不是$p_i$的倍数，又不是$p_j$的倍数。最后就有${\prod }_{i=1}^n(1-\frac{1}{p_i})$的数与x互质，个数自然就是x${\prod }_{i=1}^n(1-\frac{1}{p_i})$。
还不理解？没关系，举个例子。比如x=12，12以内有$\frac{1}{2}$的数是2的倍数，那么有1-$\frac{1}{2}$的数不是2的倍数（1,3,5,7,9,11），这6个数里又有$\frac{1}{3}$的数是3的倍数，只剩下(1-$\frac{1}{2}$)* (1-$\frac{1}{3}$)的数既不是2的倍数，也不是3的倍数（1,5,7,11）。这样剩下的 12*(1-$\frac{1}{2}$)*(1-$\frac{1}{3}$)，即4个数与12互质，所以φ(12)=4。

积性函数

先介绍一下什么是积性函数，后面将会用到。若当m与n互质时，$f(m\ast n)=f(m)\ast f(n)$，那么f是积性函数。若对任意正整数，都有f(m*n)=f(m)*f(n)成立，则f是完全积性函数。

欧拉函数的几个性质

1.对于质数p，$\phi (p)=p-1$。
2.若p为质数，$n=p^k$，则$\phi (n)$=$p^k$-$p^{k-1}$。
3.欧拉函数是积性函数，但不是完全积性函数。若m,n互质，则$\phi (m\ast n)=\phi (m)\ast \phi (n)$。特殊的，当m=2，n为奇数时，φ(2*n)=φ(n)。
4.当n>2时，φ(n)是偶数。
5.小于n的数中，与n互质的数的总和为：φ(n) * n / 2 (n>1)。
6.$n={\sum }_{d|n}\phi (d)$，即n的因数（包括1和它自己）的欧拉函数之和等于n。

欧拉函数性质的粗略证明

1.因为p是质数，所以1到n-1都与n互质。
2.n只有一个质因数p，根据公式φ(x)=x${\prod }_{i=1}^n(1-\frac{1}{p_i})=x\ast (1-\frac{1}{p})=p^k\ast (1-\frac{1}{p})=p^k-p^{k-1}$。
3.因为m与n互质，所以它们没有公共的质因数。设m有$a_m$个质因数，n有$a_n$个质因数。$\phi (m)\ast \phi (n)=m\ast n\ast {\prod }_{i=1}^{a_m}(1-\frac{1}{p_i})\ast {\prod }_{i=1}^{a_n}(1-\frac{1}{p_i})=m\ast n\ast {\prod }_{i=1}^{a_m+a_n}(1-\frac{1}{p_i})=\phi (m\ast n)$。
4.前几个都可以利用公式证明，这个却不行。首先有一个基本事实（我不想证明），若gcd(n,m)=1，则gcd(n,n-m)=1（设n>m)。当m=n-m时，$n=2\ast m$，那么n>2时gcd(n,m)<>2，与前提相悖，故m<>n-m。换句话说，n>2时，与n互质的数是成对出现的，所以φ(n)必为偶数。
5.证明这个也要用到上面所说的基本事实。与n互质的数一个是m，那么还存在另一个数n-m也与n互质。所以与n互质的数的平均数是n/2，而个数又是φ(n)，可以得到这些数的和就是φ(n)*n/2。
6.证明1（理性的证明）：
这个证明起来有点麻烦。设F(n)=${\sum }_{d|n}\phi (d)$。首先证明F(n)是个积性函数：设m，n互质，则要证$F(m\ast n)=F(m)\ast F(n)$。$F(m)\ast F(n)={\sum }_{i|m}\phi (i)\ast {\sum }_{j|n}\phi (j)=\phi (i_1)\ast \phi (j_1)+\phi (i_1)\ast \phi (j_2)+...+\phi (i_2)\ast \phi (j_1)+\phi (i_2)\ast \phi (j_2)+...+\phi (i_{km})\ast \phi (j_{kn})$这里假设$i_1,i_2,...i_{km}$为m的所有因数，$j_1,j_2,...j_{kn}$为n的所有因数之和，因为m与n互质，所以它们的因数也必然全都两两互质，而欧拉函数又是个积性函数，即$\phi (i_k\ast j_k)=\phi (i_k)\ast \phi (j_k)$，那么上式又可以等价于$\phi (i_1\ast j_1)+\phi (i_1\ast j_2)+...+\phi (i_2\ast j_1)+\phi (i_2\ast j_2)+...+\phi (i_{km}\ast j_{kn})。$可以发现，$i_1\ast j_1,i_1\ast j_2,...,i_2\ast j_1,i_2\ast j_2,...,i_{km}\ast j_{kn}$这些数构成了$m\ast n$的所有因数。那么这些数的欧拉函数之和就等于$F(m\ast n)$，所以$F(m\ast n)=F(m)\ast F(n)$，证得F是一个积性函数。根据这个性质，F可以一直分解到n为质数的幂的情况。那么讨论当p为质数时，F(p^k)怎么计算。因为$p^k$的因数只有$1,p,p^2,p^3,...,p^k$，根据F的定义，直接展开来计算就行了。（根据欧拉函数的性质2，φ($p^k$)=$p^k-p^{(}k-1)$）$F(p^k)=\phi (1)+\phi (p)+\phi (p^2)+...+\phi (p^k)=1+(p-1)+(p^2-p)+...+(p^k-p^{(}k-1))=p^k。$既然对于质数的幂，F(n)=n成立，而F又是个积性函数，这个结论就可以扩展到任意正整数了。至此，命题得证。
证明2（感性的证明）：
以12为例。12的因子有1,2,3,4,6,12。把与这些数互质的数列出来：
1:1
2:1
3:1 2
4:1 3
6:1 5
12 1 5 7 11
不妨把这些数作为分母，把与这些数互质的数作为分子，写成分数形式：
1/1
1/2
1/3 2/3
1/4 3/4
1/6 5/6
1/12 5/12 7/12 11/12
显然，每一行的数的个数就是该行的分母的欧拉函数值。倘若把这些数都改成以12为分母的数：
12/12
6/12
4/12 8/12
3/12 9/12
2/12 10/12
1/12 5/12 7/12 11/12
可以发现，这些数是以12为分母，1~12为分子的所有数，所以个数为12个。所以与12互质的数的欧拉函数值之和就是12。这样，命题大概就被证明了吧。

求欧拉函数

埃拉托斯特尼筛求欧拉函数

观察欧拉函数的公式，φ(x)=x${\prod }_{i=1}^n(1-\frac{1}{p_i})$ = x${\prod }_{i=1}^n\frac{p_i-1}{p_i}$ 。我们用phi[x]表示φ(x)。可以一开始把phi[x]赋值为x，然后每次找到它的质因数就$phi[x]=phi[x]/p_i\ast (p_i-1)$（先除再乘，避免溢出）。当然，若只要求一个数的欧拉函数，可以从1到sqrt(n)扫一遍，若gcd(i,n)=1就更新$phi[n]$。复杂度为O(logn)（代码就不给了）。那要求1~n所有数的欧拉函数呢？可以用埃拉托斯特尼筛的思想，每次找到一个质数，就把它的倍数更新掉。这个复杂度虽然不是O(n)，但还是挺快的（据说是O(n*ln ln n)，关于证明，可以点这里，虽然我看不懂）。
代码如下：

void euler(int n)
{
    for (int i=1;i<=n;i++) phi[i]=i;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (phi[i]==i)//这代表i是质数
        {
            for (int j=i;j<=n;j+=i)
            {
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);//把i的倍数更新掉
            }
        }
    }
}

欧拉筛求欧拉函数

前提是要懂欧拉筛。每个数被最小的因子筛掉的同时，再进行判断。i表示当前做到的这个数，prime[j]表示当前做到的质数，那要被筛掉的合数就是i*prime[j]。若prime[j]在这个合数里只出现一次（i%prime[j]!=0），也就是i和prime[j]互质时，则根据欧拉函数的积性函数的性质，phi[i * prime[j]]=phi[i] * phi[prime[j]]。若prime[j]在这个合数里出现了不止一次（i%prime[j]=0），也就是这个合数的所有质因子都在i里出现过，那么根据公式，φ(i * prime[j])=prime[j] * i * ${\prod }_{k=1}^n(1-\frac{1}{p_k})$ =φ(i) *prime[j]。复杂度为O(n)。
还是看代码吧：

void euler(int n)
{
	phi[1]=1;//1要特判 
	for (int i=2;i<=n;i++)
	{
		if (flag[i]==0)//这代表i是质数 
		{
			prime[++num]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for (int j=1;j<=num&&prime[j]*i<=n;j++)//经典的欧拉筛写法 
		{
			flag[i*prime[j]]=1;//先把这个合数标记掉 
			if (i%prime[j]==0)
			{
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];//若prime[j]是i的质因子，则根据计算公式，i已经包括i*prime[j]的所有质因子 
				break;//经典欧拉筛的核心语句，这样能保证每个数只会被自己最小的因子筛掉一次 
			}
			else phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];//利用了欧拉函数是个积性函数的性质 
		}
	}
}

总结

有关欧拉函数的性质，只需做个了解，而求欧拉函数的代码，却是一定要会写的。这只是走进数论世界的第一步。