ISAP模板分析
概述：算法基于这样的一个事实：每次增广之后，任意结点到汇点（在残余网络中）的最短距离都不会减小。这样，我们可以利用d[i[表示结点i到汇点的距离的下界。然后再增广过程当中不断地修改这个下界。增广的时候和Dinic算法类似，只允许沿着d[i]==d[j]+1的弧(i,j)走。
不难证明，d[i[满足两个条件：(1)d[t]=0;(2)对任意的弧(i,j) d[i]≤d[j]+1。因为最坏的情况就是s到t是一条链，此时等号成立。因此，当d[s]≥n时，残余网络中不存在s-t路。
那么与Dinic算法类似，事先逆向bfs，找增广的过程就是沿着“允许弧”（即满足f< c且d[i]==d[j]+1的弧）往前走。（称为“前进”）。如果向前走不动了，那么就要考虑原路返回（称为“撤退”）。此时把d[i]修改为min{d[j]}+1即可。因为要满足d函数的条件(2)。修改后，原来的i值的个数就减少一个，而新i值的个数多一个。在程序中，用num数组来保存所有距离的个数，当把距离值从x修改为y时，num[x]–,num[y]++即可，然后检查num[x]是否为0，如果是0，那么s-t不连通，算法终止。原因显而易见：比如s-t的距离是3，如果距离为2的情况都已经没了，更别提走到距离为1的点了。这就是所谓的“gap优化”。
通过之前的分析，在数据结构方面，该算法只比Dinic算法的数据结构多了两个数组：用于记录父边以便于撤退的数组p，以及标记距离个数的数组num。增广的时候分为两步，第一步逆推求出可改进量a（即残余量的最小值）；第二步再逆推一遍，进行增广。主过程中，x走到汇点时增广。
最快的模板：
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int source; // 源点
int sink; // 汇点
int p[max_nodes]; // 可增广路上的上一条弧的编号
int num[max_nodes]; // 和 t 的最短距离等于 i 的节点数量
int cur[max_nodes]; // 当前弧下标
int d[max_nodes]; // 残量网络中节点 i 到汇点 t 的最短距离
bool visited[max_nodes];
// 预处理, 反向 BFS 构造 d 数组
bool bfs()
{
memset(visited, 0, sizeof(visited));
queue Q;
Q.push(sink);
visited[sink] = 1;
d[sink] = 0;
while (!Q.empty()) {
int u = Q.front();
Q.pop();
for (iterator_t ix = G[u].begin(); ix != G[u].end(); ++ix) {
Edge &e = edges[(*ix)^1];
if (!visited[e.from] && e.capacity > e.flow) {
visited[e.from] = true;
d[e.from] = d[u] + 1;
Q.push(e.from);
}
}
}
return visited[source];
}
// 增广
int augment()
{
int u = sink, df = __inf;
// 从汇点到源点通过 p 追踪增广路径, df 为一路上最小的残量
while (u != source) {
Edge &e = edges[p[u]];
df = min(df, e.capacity - e.flow);
u = edges[p[u]].from;
}
u = sink;
// 从汇点到源点更新流量
while (u != source) {
edges[p[u]].flow += df;
edges[p[u]^1].flow -= df;
u = edges[p[u]].from;
}
return df;
}
int max_flow()
{
int flow = 0;
bfs();
memset(num, 0, sizeof(num));
for (int i = 0; i < num_nodes; i++) num[d[i]]++;
int u = source;
memset(cur, 0, sizeof(cur));
while (d[source] < num_nodes) {
if (u == sink) {
flow += augment();
u = source;
}
bool advanced = false;
for (int i = cur[u]; i < G[u].size(); i++) {
Edge& e = edges[G[u][i]];
if (e.capacity > e.flow && d[u] == d[e.to] + 1) {
advanced = true;
p[e.to] = G[u][i];
cur[u] = i;
u = e.to;
break;
}
}
if (!advanced) { // retreat
int m = num_nodes - 1;
for (iterator_t ix = G[u].begin(); ix != G[u].end(); ++ix)
if (edges[*ix].capacity > edges[*ix].flow)
m = min(m, d[edges[*ix].to]);
if (--num[d[u]] == 0) break; // gap 优化
num[d[u] = m+1]++;
cur[u] = 0;
if (u != source)
u = edges[p[u]].from;
}
}
return flow;
} 第二个代码：
struct Edge{
int v, c, n;
};
Edge edge[maxE];
int adj[maxN], cntE;
int Q[maxQ], head, tail, inq[maxN];
int d[maxN], num[maxN], cur[maxN], pre[maxN];
int s, t, nv;
int n, m, dis[maxN], G[maxN][maxN];
void addedge(int u, int v, int c){
edge[cntE].v = v; edge[cntE].c = c; edge[cntE].n = adj[u]; adj[u] = cntE++;
edge[cntE].v = u; edge[cntE].c = 0; edge[cntE].n = adj[v]; adj[v] = cntE++;
}
void REV_BFS(){
clear(d, -1);
clear(num, 0);
head = tail = 0;
d[t] = 0;
num[0] = 1;
Q[tail++] = t;
while(head != tail){
int u = Q[head++];
head %= maxQ;
for(int i = adj[u]; ~i; i = edge[i].n){
int v = edge[i].v;
if(~d[v]) continue;
d[v] = d[u] + 1;
num[d[v]]++;
Q[tail++] = v;
tail %= maxQ;
}
}
}
int ISAP(){
copy(cur, adj);
REV_BFS();
int flow = 0, u = pre[s] = s, i;
while(d[s] < nv){
if(u == t){
int f = oo, neck;
for(i = s; i != t; i = edge[cur[i]].v){
if(f > edge[cur[i]].c){
f = edge[cur[i]].c;
neck = i;
}
}
for(i = s; i != t; i = edge[cur[i]].v){
edge[cur[i]].c -= f;
edge[cur[i] ^ 1].c += f;
}
flow += f;
u = neck;
}
for(i = cur[u]; ~i; i = edge[i].n) if(edge[i].c && d[u] == d[edge[i].v] + 1) break;
if(~i){
cur[u] = i;
pre[edge[i].v] = u;
u = edge[i].v;
}
else{
if(0 == (--num[d[u]])) break;
int mind = nv;
for(i = adj[u]; ~i; i = edge[i].n){
if(edge[i].c && mind > d[edge[i].v]){
mind = d[edge[i].v];
cur[u] = i;
}
}
d[u] = mind + 1;
num[d[u]]++;
u = pre[u];
}
}
return flow;
}