第2章 矩阵

矩阵

向量是标量的数组，矩阵是向量的数组。

n维向量 x (N*M的矩阵) = M维向量

矩阵就是映射。矩阵可以描述任意线性变换，而线性变换的可以拉伸坐标系，但不会弯曲，也不会平移。所以同维度不可以做平移处理。

方阵

行和列相同的矩阵 (2 * 2) (3 * 3) (4 * 4)常用
方阵的对角线元素：即i=j的元素例如： a[1][1]和a[2]a[2]
对角矩阵：所有非对角线元素为0的
单位矩阵：对角矩阵中所有对角线元素值为1

转置矩阵

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矩阵乘法

标量乘以矩阵，矩阵的每个元素乘以标量。
矩阵乘以矩阵：
条件：rn 和nc 得到r*c

计算

向量乘以矩阵

注意：行向量，列向量是不同的，计算结果不同，所以应该注意区分。

二维向量*二维矩阵

可以表示旋转和缩放

二维绕原点

延坐标轴Y轴缩放Kx和Y轴缩放Ky

投影：
正交投影(平行投影)：在某个轴用0做缩放，
正交投影属于降维操作，比如3维投影到2维，
其投影被舍弃的维度用0，其他维度用1，处理降维。

二维降维到一维

二维向量*三维矩阵

有点P移动了[Dx,Dy]到点Q,可以列出一下方程组：
Px +Dx=Qx
Py +Dy=Qy
我们变换一下方程
Px + (0Py) +Dx = Qx
(0Px) + Py + Dx = Qy
矩阵是映射，我们可以得到以下矩阵
| 1 | 0 | dx |
| 0 | 1 | dy |
该矩阵可以表示平移操作

三维向量*三维矩阵

矩阵可以描述任意线性变换，而线性变换的可以拉伸坐标系，但不会弯曲。
常用的变换有：
旋转，缩放，投影，镜像，放射
旋转：

三维绕x轴

缩放：

延坐标轴3d

投影：
正交投影(平行投影)：在某个轴用0做缩放，
正交投影属于降维操作，比如3维投影到2维，
其投影被舍弃的维度用0，其他维度用1，处理降维。

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镜像：反射

任意轴2d

任意轴3d

切变：

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如上图的

x轴被y切变

y轴被x轴切变

3d切变

在其所在轴对其他轴的切变

变换的分类

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矩阵2

矩阵的行列式

运算简图

连写两遍矩阵，左对角线之和减去右对角线

2d中：行列式等于，其两向量拼合的平行四边形面积
3d中：行列式等于，其三向量拼合的六面体体积

矩阵的逆

可以做变换的反向，比如：撤销。
但是有些矩阵是不可逆的，如果出现不可逆矩阵，那将无法还原。
比如：

1. 降维操作。

正交矩阵

矩阵乘以矩阵的转置，等于单位矩阵。称为正交矩阵
常规用法不太明白，后期补。

矩阵的正交化：对于一个外部的矩阵进行部分的修复。

4*4的齐次空间

3*3矩阵能表示变换，不能表示平移。
4d矩阵的w维度，常用于处理3d的平移。
即：
| 1 | 0 | 0 | dx |
| 0 | 1 | 0 | dx |
| 0 | 0 | 1 | dy |
| 0 | 0 | 0 | 1 |

透视投影

回顾平行(正交)投影，属于

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